Номер 188, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Производная степенной функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 188, страница 83.
№188 (с. 83)
Условие. №188 (с. 83)
скриншот условия

188. 1) $(2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1);$
2) $(x - 1)^4 (x + 1)^7;$
3) $\sqrt[4]{3x + 2} \cdot (3x - 1)^4;$
4) $\sqrt[3]{2x + 1} \cdot (2x - 3)^3.$
Решение 1. №188 (с. 83)




Решение 2. №188 (с. 83)

Решение 3. №188 (с. 83)
1) Для нахождения производной функции $y = (2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = (2x - 3)^5$ и $v = (3x^2 + 2x + 1)$.
Найдем производную $u'$ по цепному правилу:
$u' = ((2x - 3)^5)' = 5(2x - 3)^{5-1} \cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2 = 10(2x - 3)^4$.
Найдем производную $v'$:
$v' = (3x^2 + 2x + 1)' = 6x + 2$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 10(2x - 3)^4 (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)^5 (6x + 2)$.
Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $(2x - 3)^4$:
$y' = (2x - 3)^4 [10(3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)(6x + 2)]$.
Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
$y' = (2x - 3)^4 [ (30x^2 + 20x + 10) + (12x^2 + 4x - 18x - 6) ]$.
Приведем подобные слагаемые:
$y' = (2x - 3)^4 [30x^2 + 20x + 10 + 12x^2 - 14x - 6] = (2x - 3)^4 (42x^2 + 6x + 4)$.
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:
$y' = (2x - 3)^4 \cdot 2(21x^2 + 3x + 2) = 2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$.
Ответ: $2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$.
2) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)^4 (x + 1)^7$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = (x - 1)^4$ и $v = (x + 1)^7$.
Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:
$u' = ((x - 1)^4)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = 4(x - 1)^3 \cdot 1 = 4(x - 1)^3$.
$v' = ((x + 1)^7)' = 7(x + 1)^6 \cdot (x + 1)' = 7(x + 1)^6 \cdot 1 = 7(x + 1)^6$.
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 4(x - 1)^3 (x + 1)^7 + (x - 1)^4 \cdot 7(x + 1)^6$.
Упростим выражение, вынеся за скобки общие множители $(x - 1)^3$ и $(x + 1)^6$:
$y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4(x + 1) + 7(x - 1)]$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые внутри квадратных скобок:
$y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4x + 4 + 7x - 7] = (x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$.
Ответ: $(x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$.
3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[4]{3x+2} \cdot (3x-1)^4$ представим корень в виде степени: $y = (3x+2)^{1/4} \cdot (3x-1)^4$.
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = (3x+2)^{1/4}$ и $v = (3x-1)^4$.
Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:
$u' = ((3x+2)^{1/4})' = \frac{1}{4}(3x+2)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (3x+2)' = \frac{1}{4}(3x+2)^{-3/4} \cdot 3 = \frac{3}{4(3x+2)^{3/4}}$.
$v' = ((3x-1)^4)' = 4(3x-1)^{4-1} \cdot (3x-1)' = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3$.
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{3}{4(3x+2)^{3/4}} \cdot (3x-1)^4 + (3x+2)^{1/4} \cdot 12(3x-1)^3$.
Для упрощения приведем слагаемые к общему знаменателю $4(3x+2)^{3/4}$:
$y' = \frac{3(3x-1)^4}{4(3x+2)^{3/4}} + \frac{12(3x-1)^3 (3x+2)^{1/4} \cdot 4(3x+2)^{3/4}}{4(3x+2)^{3/4}} = \frac{3(3x-1)^4 + 48(3x-1)^3 (3x+2)}{4(3x+2)^{3/4}}$.
Вынесем в числителе общий множитель $3(3x-1)^3$:
$y' = \frac{3(3x-1)^3 [(3x-1) + 16(3x+2)]}{4(3x+2)^{3/4}}$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = \frac{3(3x-1)^3 [3x - 1 + 48x + 32]}{4(3x+2)^{3/4}} = \frac{3(3x-1)^3 (51x+31)}{4(3x+2)^{3/4}}$.
Запишем ответ, используя знак корня:
$y' = \frac{3(3x-1)^3 (51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}$.
Ответ: $\frac{3(3x-1)^3(51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}$.
4) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{2x+1} \cdot (2x-3)^3$ представим корень в виде степени: $y = (2x+1)^{1/3} \cdot (2x-3)^3$.
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = (2x+1)^{1/3}$ и $v = (2x-3)^3$.
Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:
$u' = ((2x+1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{3}(2x+1)^{-2/3} \cdot 2 = \frac{2}{3(2x+1)^{2/3}}$.
$v' = ((2x-3)^3)' = 3(2x-3)^{3-1} \cdot (2x-3)' = 3(2x-3)^2 \cdot 2 = 6(2x-3)^2$.
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{2(2x-3)^3}{3(2x+1)^{2/3}} + 6(2x-3)^2 (2x+1)^{1/3}$.
Приведем к общему знаменателю $3(2x+1)^{2/3}$:
$y' = \frac{2(2x-3)^3 + 6(2x-3)^2 (2x+1)^{1/3} \cdot 3(2x+1)^{2/3}}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{2(2x-3)^3 + 18(2x-3)^2 (2x+1)}{3(2x+1)^{2/3}}$.
Вынесем в числителе общий множитель $2(2x-3)^2$:
$y' = \frac{2(2x-3)^2 [(2x-3) + 9(2x+1)]}{3(2x+1)^{2/3}}$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = \frac{2(2x-3)^2 [2x-3 + 18x+9]}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{2(2x-3)^2 (20x+6)}{3(2x+1)^{2/3}}$.
Вынесем множитель 2 из скобки $(20x+6)$:
$y' = \frac{2(2x-3)^2 \cdot 2(10x+3)}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3(2x+1)^{2/3}}$.
Запишем ответ, используя знак корня:
$y' = \frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$.
Ответ: $\frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 188 расположенного на странице 83 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №188 (с. 83), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.