Номер 188, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 188, страница 83.

Условие.

188. 1) $(2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1);$
2) $(x - 1)^4 (x + 1)^7;$
3) $\sqrt[4]{3x + 2} \cdot (3x - 1)^4;$
4) $\sqrt[3]{2x + 1} \cdot (2x - 3)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = (2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (2x - 3)^5$ и $v = (3x^2 + 2x + 1)$.

Найдем производную $u'$ по цепному правилу:

$u' = ((2x - 3)^5)' = 5(2x - 3)^{5-1} \cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2 = 10(2x - 3)^4$.

Найдем производную $v'$:

$v' = (3x^2 + 2x + 1)' = 6x + 2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 10(2x - 3)^4 (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)^5 (6x + 2)$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $(2x - 3)^4$:

$y' = (2x - 3)^4 [10(3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)(6x + 2)]$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$y' = (2x - 3)^4 [ (30x^2 + 20x + 10) + (12x^2 + 4x - 18x - 6) ]$.

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (2x - 3)^4 [30x^2 + 20x + 10 + 12x^2 - 14x - 6] = (2x - 3)^4 (42x^2 + 6x + 4)$.

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$y' = (2x - 3)^4 \cdot 2(21x^2 + 3x + 2) = 2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$.

Ответ: $2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$.

2) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)^4 (x + 1)^7$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (x - 1)^4$ и $v = (x + 1)^7$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:

$u' = ((x - 1)^4)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = 4(x - 1)^3 \cdot 1 = 4(x - 1)^3$.

$v' = ((x + 1)^7)' = 7(x + 1)^6 \cdot (x + 1)' = 7(x + 1)^6 \cdot 1 = 7(x + 1)^6$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 4(x - 1)^3 (x + 1)^7 + (x - 1)^4 \cdot 7(x + 1)^6$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общие множители $(x - 1)^3$ и $(x + 1)^6$:

$y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4(x + 1) + 7(x - 1)]$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые внутри квадратных скобок:

$y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4x + 4 + 7x - 7] = (x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$.

Ответ: $(x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[4]{3x+2} \cdot (3x-1)^4$ представим корень в виде степени: $y = (3x+2)^{1/4} \cdot (3x-1)^4$.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (3x+2)^{1/4}$ и $v = (3x-1)^4$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:

$u' = ((3x+2)^{1/4})' = \frac{1}{4}(3x+2)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (3x+2)' = \frac{1}{4}(3x+2)^{-3/4} \cdot 3 = \frac{3}{4(3x+2)^{3/4}}$.

$v' = ((3x-1)^4)' = 4(3x-1)^{4-1} \cdot (3x-1)' = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{3}{4(3x+2)^{3/4}} \cdot (3x-1)^4 + (3x+2)^{1/4} \cdot 12(3x-1)^3$.

Для упрощения приведем слагаемые к общему знаменателю $4(3x+2)^{3/4}$:

$y' = \frac{3(3x-1)^4}{4(3x+2)^{3/4}} + \frac{12(3x-1)^3 (3x+2)^{1/4} \cdot 4(3x+2)^{3/4}}{4(3x+2)^{3/4}} = \frac{3(3x-1)^4 + 48(3x-1)^3 (3x+2)}{4(3x+2)^{3/4}}$.

Вынесем в числителе общий множитель $3(3x-1)^3$:

$y' = \frac{3(3x-1)^3 [(3x-1) + 16(3x+2)]}{4(3x+2)^{3/4}}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$y' = \frac{3(3x-1)^3 [3x - 1 + 48x + 32]}{4(3x+2)^{3/4}} = \frac{3(3x-1)^3 (51x+31)}{4(3x+2)^{3/4}}$.

Запишем ответ, используя знак корня:

$y' = \frac{3(3x-1)^3 (51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}$.

Ответ: $\frac{3(3x-1)^3(51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{2x+1} \cdot (2x-3)^3$ представим корень в виде степени: $y = (2x+1)^{1/3} \cdot (2x-3)^3$.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (2x+1)^{1/3}$ и $v = (2x-3)^3$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:

$u' = ((2x+1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{3}(2x+1)^{-2/3} \cdot 2 = \frac{2}{3(2x+1)^{2/3}}$.

$v' = ((2x-3)^3)' = 3(2x-3)^{3-1} \cdot (2x-3)' = 3(2x-3)^2 \cdot 2 = 6(2x-3)^2$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{2(2x-3)^3}{3(2x+1)^{2/3}} + 6(2x-3)^2 (2x+1)^{1/3}$.

Приведем к общему знаменателю $3(2x+1)^{2/3}$:

$y' = \frac{2(2x-3)^3 + 6(2x-3)^2 (2x+1)^{1/3} \cdot 3(2x+1)^{2/3}}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{2(2x-3)^3 + 18(2x-3)^2 (2x+1)}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Вынесем в числителе общий множитель $2(2x-3)^2$:

$y' = \frac{2(2x-3)^2 [(2x-3) + 9(2x+1)]}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$y' = \frac{2(2x-3)^2 [2x-3 + 18x+9]}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{2(2x-3)^2 (20x+6)}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Вынесем множитель 2 из скобки $(20x+6)$:

$y' = \frac{2(2x-3)^2 \cdot 2(10x+3)}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Запишем ответ, используя знак корня:

$y' = \frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$.

Ответ: $\frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$.