Номер 195, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 195, страница 84.

Условие.

195. Найти производную функции $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$ при $x<2$ и при $x>3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Представим функцию $f(x)$ как композицию двух функций: внешней функции $u(y) = \sqrt{y}$ и внутренней функции $y(x) = x^2 - 5x + 6$.

Производная сложной функции находится по формуле: $f'(x) = u'(y(x)) \cdot y'(x)$.

1. Найдем производную внешней функции $u(y) = \sqrt{y} = y^{1/2}$ по $y$:
$u'(y) = \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} y^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$.

2. Найдем производную внутренней функции $y(x) = x^2 - 5x + 6$ по $x$:
$y'(x) = (x^2)' - (5x)' + (6)' = 2x - 5$.

3. Теперь подставим наши производные в формулу цепного правила, заменив $y$ на $x^2 - 5x + 6$:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.

Эта производная существует, когда выражение под корнем строго больше нуля: $x^2 - 5x + 6 > 0$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x < 2$ и при $x > 3$. Это в точности соответствует условиям задачи.

при x < 2

Для всех $x$ из интервала $(-\infty, 2)$ производная существует и вычисляется по полученной формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.

и при x > 3

Для всех $x$ из интервала $(3, \infty)$ производная также существует и вычисляется по той же самой формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.