Страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

191. Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:

1) $f(x) = x^4 - 4x^2 + 1$;

2) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$;

3) $f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$;

4) $f(x) = \frac{x^3 + 16}{x}$;

5) $f(x) = (x+2)^2 \sqrt{x}$;

6) $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$.

Дана функция $f(x) = x^4 - 4x^2 + 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4 - 4x^2 + 1)' = 4x^3 - 8x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$4x^3 - 8x > 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 2) > 0$

Разложим выражение $(x^2 - 2)$ на множители:

$4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$

Найдем корни уравнения $4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$. Корни: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной в каждом интервале методом интервалов. Так как коэффициент при старшей степени ($x^3$) положителен, крайний правый интервал будет иметь знак "+". Далее знаки чередуются:

$(-\infty, -\sqrt{2}): -$

$(-\sqrt{2}, 0): +$

$(0, \sqrt{2}): -$

$(\sqrt{2}, +\infty): +$

Таким образом, неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Дана функция $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3)' = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$12x^3 - 12x^2 - 24x > 0$

Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:

$12x(x^2 - x - 2) > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Тогда неравенство принимает вид:

$12x(x - 2)(x + 1) > 0$

Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Используем метод интервалов. Отмечаем точки на числовой оси и расставляем знаки. Крайний правый интервал имеет знак "+", далее знаки чередуются:

$(-\infty, -1): -$

$(-1, 0): +$

$(0, 2): -$

$(2, +\infty): +$

Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.

Дана функция $f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Найдем производную. Удобнее сначала раскрыть скобки: $f(x) = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + x^{-2}$.

$f'(x) = (x^2 + 2 + x^{-2})' = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2x - \frac{2}{x^3} > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x^4 - 2}{x^3} > 0$

$\frac{2(x^4 - 1)}{x^3} > 0$

$\frac{2(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^3} > 0$

Так как $2(x^2 + 1) > 0$ для любого $x$, знак дроби зависит от знака выражения $\frac{x^2 - 1}{x^3}$:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^3} > 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Методом интервалов определяем знаки:

$(-\infty, -1): \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$

$(-1, 0): \frac{(-)(+)}{(-)} > 0$

$(0, 1): \frac{(-)(+)}{(+)} < 0$

$(1, +\infty): \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$

Неравенство выполняется при $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Дана функция $f(x) = \frac{x^3 + 16}{x}$.

Область определения: $x \neq 0$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^2 + \frac{16}{x} = x^2 + 16x^{-1}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2x - \frac{16}{x^2} > 0$

$\frac{2x^3 - 16}{x^2} > 0$

Знаменатель $x^2 > 0$ при $x \neq 0$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$2x^3 - 16 > 0$

$2x^3 > 16$

$x^3 > 8$

$x > 2$

Решение удовлетворяет области определения.

Ответ: $x \in (2, \infty)$.

Дана функция $f(x) = (x + 2)^2 \sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем производную, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+2)^2)'\sqrt{x} + (x+2)^2(\sqrt{x})' = 2(x+2)\sqrt{x} + (x+2)^2 \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Область определения производной: $x > 0$.

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$f'(x) = \frac{2(x+2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x+2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x+2) + (x+2)^2}{2\sqrt{x}}$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ в числителе:

$f'(x) = \frac{(x+2)(4x + (x+2))}{2\sqrt{x}} = \frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}}$

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}} > 0$

В области определения производной $x > 0$ все множители положительны:

• $x+2 > 2 > 0$
• $5x+2 > 2 > 0$
• $2\sqrt{x} > 0$

Произведение и частное положительных чисел положительно. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения производной, т.е. для $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

Дана функция $f(x) = (x - 3) \sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем производную по правилу произведения:

$f'(x) = (x-3)'\sqrt{x} + (x-3)(\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x-3) \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Область определения производной: $x > 0$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + x-3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{3x-3}{2\sqrt{x}} > 0$

В области определения производной $x > 0$, знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен. Значит, знак дроби зависит только от знака числителя:

$3x - 3 > 0$

$3x > 3$

$x > 1$

Решение удовлетворяет области определения производной.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

192. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени $t$ по закону $\varphi(t) = 0,1t^2 - 0,5t + 0,2$. Найти угловую скорость (рад/с) вращения тела в момент времени $t = 20$ с.

Угловая скорость $\omega$ представляет собой скорость изменения угла поворота $\phi$ со временем. С точки зрения математики, это первая производная функции угла поворота по времени $t$.

Закон изменения угла поворота тела задан функцией:

$\phi(t) = 0,1t^2 - 0,5t + 0,2$

Для нахождения угловой скорости $\omega(t)$ необходимо взять производную от функции $\phi(t)$:

$\omega(t) = \phi'(t) = \frac{d}{dt}(0,1t^2 - 0,5t + 0,2)$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$\omega(t) = 0,1 \cdot 2t - 0,5 = 0,2t - 0,5$

Теперь необходимо найти значение угловой скорости в конкретный момент времени $t = 20$ с. Для этого подставим значение $t = 20$ в полученное уравнение для $\omega(t)$:

$\omega(20) = 0,2 \cdot 20 - 0,5$

$\omega(20) = 4 - 0,5 = 3,5$

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: 3,5 рад/с.

193. Тело, масса которого $m = 5$ кг, движется прямолинейно по закону $s(t) = 1 - t + t^2$ (где $s$ выражается в метрах, $t$ — в секундах). Найти кинетическую энергию тела $\frac{mv^2}{2}$ через 10 с после начала движения.

Для того чтобы найти кинетическую энергию тела, воспользуемся формулой $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

По условию задачи, масса тела $m = 5$ кг. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением $s(t) = 1 - t + t^2$.

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Найдем эту производную:

$v(t) = s'(t) = (1 - t + t^2)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 0 - 1 + 2t = 2t - 1$

Теперь нам нужно найти скорость тела через 10 секунд после начала движения, то есть при $t = 10$ с. Подставим это значение в найденное уравнение для скорости:

$v(10) = 2 \cdot 10 - 1 = 20 - 1 = 19$ м/с.

Теперь, когда у нас есть и масса ($m=5$ кг), и скорость ($v=19$ м/с), мы можем рассчитать кинетическую энергию тела:

$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{5 \text{ кг} \cdot (19 \text{ м/с})^2}{2}$

$E_k = \frac{5 \cdot 361}{2} = \frac{1805}{2} = 902,5$ Дж.

Ответ: $902,5$ Дж.

194. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону $m(l) = 2l^2 + 3l$, где $l$ — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

2) в конце стержня.

По условию задачи, масса `m` части стержня длиной `l` (отсчитываемой от его начала) выражается функцией $m(l) = 2l^2 + 3l$.

Линейная плотность $\rho$ является физической величиной, равной отношению массы к длине. Для неоднородного стержня линейная плотность в конкретной точке определяется как производная функции массы по длине.

Таким образом, чтобы найти функцию линейной плотности $\rho(l)$, нужно найти производную от функции массы $m(l)$:

$\rho(l) = m'(l) = \frac{d}{dl}(2l^2 + 3l)$

Используя правила дифференцирования степенной функции, получаем:

$\rho(l) = 2 \cdot (l^2)' + 3 \cdot (l)' = 2 \cdot 2l + 3 \cdot 1 = 4l + 3$

Итак, мы получили общую формулу для вычисления линейной плотности в любой точке стержня, отстоящей на расстояние $l$ от его начала: $\rho(l) = 4l + 3$. Единица измерения плотности — грамм на сантиметр (г/см).

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

Для нахождения линейной плотности в этой точке необходимо подставить значение $l = 3$ см в полученную формулу $\rho(l)$:

$\rho(3) = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$ г/см.

Ответ: 15 г/см.

2) в конце стержня.

Полная длина стержня составляет 25 см. Следовательно, конец стержня соответствует значению $l = 25$ см.

Подставим это значение в формулу для линейной плотности $\rho(l)$:

$\rho(25) = 4 \cdot 25 + 3 = 100 + 3 = 103$ г/см.

Ответ: 103 г/см.

195. Найти производную функции $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$ при $x<2$ и при $x>3$.

Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Представим функцию $f(x)$ как композицию двух функций: внешней функции $u(y) = \sqrt{y}$ и внутренней функции $y(x) = x^2 - 5x + 6$.

Производная сложной функции находится по формуле: $f'(x) = u'(y(x)) \cdot y'(x)$.

1. Найдем производную внешней функции $u(y) = \sqrt{y} = y^{1/2}$ по $y$:
$u'(y) = \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} y^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$.

2. Найдем производную внутренней функции $y(x) = x^2 - 5x + 6$ по $x$:
$y'(x) = (x^2)' - (5x)' + (6)' = 2x - 5$.

3. Теперь подставим наши производные в формулу цепного правила, заменив $y$ на $x^2 - 5x + 6$:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.

Эта производная существует, когда выражение под корнем строго больше нуля: $x^2 - 5x + 6 > 0$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x < 2$ и при $x > 3$. Это в точности соответствует условиям задачи.

при x < 2

Для всех $x$ из интервала $(-\infty, 2)$ производная существует и вычисляется по полученной формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.

и при x > 3

Для всех $x$ из интервала $(3, \infty)$ производная также существует и вычисляется по той же самой формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.