Страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

196. 1) $ \ln x + \sin x $;

2) $ e^x - \sin x $;

3) $ \sqrt{x} - \cos x $;

4) $ \frac{1}{x^2} + e^x $;

5) $ \operatorname{tg} x + \ln x $;

6) $ e^x - \operatorname{ctg} x $.

1) Для нахождения производной функции $y = \ln x + \sin x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$. Таким образом, производная исходной функции равна: $y' = (\ln x + \sin x)' = (\ln x)' + (\sin x)' = \frac{1}{x} + \cos x$.
Ответ: $\frac{1}{x} + \cos x$

2) Для нахождения производной функции $y = e^x - \sin x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$. Производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$. Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, производная исходной функции: $y' = (e^x - \sin x)' = (e^x)' - (\sin x)' = e^x - \cos x$.
Ответ: $e^x - \cos x$

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} - \cos x$ представим корень как степень: $y = x^{1/2} - \cos x$. Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$. Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, поэтому $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$. Тогда, $y' = (\sqrt{x} - \cos x)' = (\sqrt{x})' - (\cos x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - (-\sin x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$.
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x^2} + e^x$ представим дробь как степень с отрицательным показателем: $y = x^{-2} + e^x$. Применим правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$. Для первого слагаемого используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем $(x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. Производная второго слагаемого $(e^x)' = e^x$. Таким образом, $y' = (x^{-2} + e^x)' = (x^{-2})' + (e^x)' = -\frac{2}{x^3} + e^x$.
Ответ: $e^x - \frac{2}{x^3}$

5) Для нахождения производной функции $y = \text{tg } x + \ln x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Производная тангенса $(\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Складывая производные, получаем: $y' = (\text{tg } x + \ln x)' = (\text{tg } x)' + (\ln x)' = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{x}$

6) Для нахождения производной функции $y = e^x - \text{ctg } x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$. Производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$. Производная котангенса $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Вычитая одну производную из другой, получаем: $y' = (e^x - \text{ctg } x)' = (e^x)' - (\text{ctg } x)' = e^x - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = e^x + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $e^x + \frac{1}{\sin^2 x}$

197. 1) $2\cos 3x$;

2) $-5e^{2x}$;

3) $-4\ln 2x$;

4) $-3\sin 2x$;

5) $\frac{3}{10}e^{-2x}$;

6) $2e^{2x} - 4e^{-2x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = 2\cos(3x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и правилом вынесения константы за знак производной.
Пусть внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя $g(x) = 3x$. Их производные равны $f'(u) = -\sin(u)$ и $g'(x) = 3$.
$y' = (2\cos(3x))' = 2 \cdot (\cos(3x))' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)$.
Ответ: $-6\sin(3x)$

2) Для нахождения производной функции $y = -5e^{2x}$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = -5$. Внешняя функция $f(u) = e^u$, внутренняя $g(x) = 2x$. Их производные: $f'(u) = e^u$ и $g'(x) = 2$.
$y' = (-5e^{2x})' = -5 \cdot (e^{2x})' = -5 \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = -5 \cdot e^{2x} \cdot 2 = -10e^{2x}$.
Ответ: $-10e^{2x}$

3) Для нахождения производной функции $y = -4\ln(2x)$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = -4$. Внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, внутренняя $g(x) = 2x$. Их производные: $f'(u) = \frac{1}{u}$ и $g'(x) = 2$.
$y' = (-4\ln(2x))' = -4 \cdot (\ln(2x))' = -4 \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = -4 \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = -\frac{8}{2x} = -\frac{4}{x}$.
Ответ: $-\frac{4}{x}$

4) Для нахождения производной функции $y = -3\sin(2x)$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = -3$. Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, внутренняя $g(x) = 2x$. Их производные: $f'(u) = \cos(u)$ и $g'(x) = 2$.
$y' = (-3\sin(2x))' = -3 \cdot (\sin(2x))' = -3 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = -3 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -6\cos(2x)$.
Ответ: $-6\cos(2x)$

5) Для нахождения производной функции $y = \frac{3}{10}e^{-2x}$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = \frac{3}{10}$. Внешняя функция $f(u) = e^u$, внутренняя $g(x) = -2x$. Их производные: $f'(u) = e^u$ и $g'(x) = -2$.
$y' = (\frac{3}{10}e^{-2x})' = \frac{3}{10} \cdot (e^{-2x})' = \frac{3}{10} \cdot e^{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{3}{10} e^{-2x} \cdot (-2) = -\frac{6}{10}e^{-2x} = -\frac{3}{5}e^{-2x}$.
Ответ: $-\frac{3}{5}e^{-2x}$

6) Для нахождения производной функции $y = 2e^{2x} - 4e^{-2x}$ воспользуемся правилом дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого: $(2e^{2x})' = 2 \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}$.
Производная второго слагаемого: $(4e^{-2x})' = 4 \cdot e^{-2x} \cdot (-2x)' = 4 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -8e^{-2x}$.
Теперь вычтем производную второго слагаемого из производной первого:
$y' = 4e^{2x} - (-8e^{-2x}) = 4e^{2x} + 8e^{-2x}$.
Ответ: $4e^{2x} + 8e^{-2x}$

198. 1) $6x^4 - 9e^{3x};$

2) $\frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x;$

3) $3\sqrt[3]{x} - 4\cos 4x;$

4) $\frac{5}{x^2} + 4e^{\frac{x}{4}};$

5) $\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln 4x;$

6) $3\operatorname{tg} 2x - 2\sqrt[3]{x}.$

1) Требуется найти первообразную для функции $y = 6x^4 - 9e^{3x}$. Это эквивалентно нахождению неопределенного интеграла.

Используем свойство линейности интеграла: $\int (6x^4 - 9e^{3x}) dx = \int 6x^4 dx - \int 9e^{3x} dx$

Выносим константы за знак интеграла: $6 \int x^4 dx - 9 \int e^{3x} dx$

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. $6 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 9 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{6}{5}x^5 - 3e^{3x} + C$.

Ответ: $\frac{6}{5}x^5 - 3e^{3x} + C$.

2) Требуется найти первообразную для функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x$. Находим неопределенный интеграл.

Используя свойство линейности и вынося константы, получаем: $\int (\frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x) dx = \frac{1}{4} \int x^8 dx + 3 \int \sin 3x dx$.

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. $\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + 3 \cdot (-\frac{1}{3}\cos 3x) + C = \frac{1}{4} \frac{x^9}{9} - \cos 3x + C = \frac{x^9}{36} - \cos 3x + C$.

Ответ: $\frac{x^9}{36} - \cos 3x + C$.

3) Требуется найти первообразную для функции $y = 3\sqrt[3]{x} - 4\cos 4x$.

Перепишем функцию, используя степенное представление корня: $y = 3x^{1/3} - 4\cos 4x$. Находим интеграл: $\int (3x^{1/3} - 4\cos 4x) dx = 3 \int x^{1/3} dx - 4 \int \cos 4x dx$.

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. $3 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - 4 \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C = 3 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - \sin 4x + C = \frac{9}{4}x^{4/3} - \sin 4x + C$.

Результат можно также записать с использованием корня: $ \frac{9}{4}x\sqrt[3]{x} - \sin 4x + C$.

Ответ: $\frac{9}{4}x^{4/3} - \sin 4x + C$.

4) Требуется найти первообразную для функции $y = \frac{5}{x^2} + 4e^{\frac{x}{4}}$.

Перепишем функцию в степенном виде: $y = 5x^{-2} + 4e^{\frac{1}{4}x}$. Находим интеграл: $\int (5x^{-2} + 4e^{\frac{1}{4}x}) dx = 5 \int x^{-2} dx + 4 \int e^{\frac{1}{4}x} dx$.

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. $5 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + 4 \cdot \frac{e^{\frac{1}{4}x}}{1/4} + C = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 16e^{\frac{x}{4}} + C = -5x^{-1} + 16e^{\frac{x}{4}} + C$.

Результат можно записать в виде дроби: $-\frac{5}{x} + 16e^{\frac{x}{4}} + C$.

Ответ: $-\frac{5}{x} + 16e^{\frac{x}{4}} + C$.

5) Требуется найти первообразную для функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln 4x$.

Находим интеграл $\int (\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln 4x) dx$. Разделим его на два интеграла: $\int \frac{1}{3x^3} dx + \int \frac{1}{2}\ln 4x dx = \frac{1}{3}\int x^{-3} dx + \frac{1}{2}\int \ln 4x dx$.

Первый интеграл: $\frac{1}{3}\int x^{-3} dx = \frac{1}{3} \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_1 = \frac{1}{3} \frac{x^{-2}}{-2} + C_1 = -\frac{1}{6x^2} + C_1$.

Второй интеграл $\int \ln 4x dx$ находим методом интегрирования по частям $\int u dv = uv - \int v du$. Пусть $u = \ln 4x$ и $dv = dx$. Тогда $du = (\ln 4x)' dx = \frac{1}{4x} \cdot 4 dx = \frac{1}{x}dx$, а $v = \int dx = x$. $\int \ln 4x dx = x \cdot \ln 4x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln 4x - \int dx = x \ln 4x - x + C_2$.

Объединяем результаты: $-\frac{1}{6x^2} + \frac{1}{2}(x \ln 4x - x) + C = -\frac{1}{6x^2} + \frac{x}{2}\ln 4x - \frac{x}{2} + C$. (где $C = C_1 + \frac{1}{2}C_2$)

Ответ: $-\frac{1}{6x^2} + \frac{x}{2}\ln 4x - \frac{x}{2} + C$.

6) Требуется найти первообразную для функции $y = 3\operatorname{tg} 2x - 2\sqrt[3]{x}$.

Перепишем функцию в виде $y = 3\operatorname{tg} 2x - 2x^{1/3}$ и найдем интеграл: $\int (3\operatorname{tg} 2x - 2x^{1/3}) dx = 3\int \operatorname{tg} 2x dx - 2\int x^{1/3} dx$.

Применяем табличные интегралы: $\int \operatorname{tg}(kx) dx = -\frac{1}{k}\ln|\cos(kx)| + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Интегрируем каждое слагаемое: $3 \cdot (-\frac{1}{2}\ln|\cos 2x|) - 2 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C = -\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = -\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.

Результат можно также записать с использованием корня: $-\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} + C$.

Ответ: $-\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.