Страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

182. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0:

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2;$

2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5;$

3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5);$

4) $f(x) = x + \frac{1}{x};$

5) $f(x) = (x-1)^2 x\sqrt{x};$

6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x.$

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем производную функции $f'(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (3x^4)' - (4x^3)' - (12x^2)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 - 12 \cdot 2x = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$.
Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:
$12x(x^2 - x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $12x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 - x - 2 = 0$. Это квадратное уравнение. Его корни $x_2 = 2$ и $x_3 = -1$.
Таким образом, производная равна нулю при $x = -1, x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 2$.

2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5$

Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (x^4)' + (4x^3)' - (8x^2)' - (5)' = 4x^3 + 4 \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x - 0 = 4x^3 + 12x^2 - 16x$.
Приравняем производную к нулю:
$4x^3 + 12x^2 - 16x = 0$.
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 + 3x - 4) = 0$.
Отсюда получаем:
1) $4x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = -4$.
Таким образом, производная равна нулю при $x = -4, x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: $x = -4, x = 0, x = 1$.

3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5)$

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить функцию:
$f(x) = x^2 \cdot 2x^2 + x^2 \cdot 5 + 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 5 = 2x^4 + 5x^2 + 6x^2 + 15 = 2x^4 + 11x^2 + 15$.
Теперь найдем производную полученной функции:
$f'(x) = (2x^4)' + (11x^2)' + (15)' = 2 \cdot 4x^3 + 11 \cdot 2x + 0 = 8x^3 + 22x$.
Приравняем производную к нулю:
$8x^3 + 22x = 0$.
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(4x^2 + 11) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x = 0 \implies x = 0$.
2) $4x^2 + 11 = 0 \implies 4x^2 = -11$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственное решение - это $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную функции. Для этого представим $f(x)$ в виде $f(x) = x + x^{-1}$.
$f'(x) = (x)' + (x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0$.
$1 = \frac{1}{x^2}$.
Отсюда следует, что $x^2 = 1$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

5) $f(x) = (x-1)^2 x\sqrt{x}$

Область определения функции задается условием $x \ge 0$.
Упростим выражение для функции: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
$f(x) = (x-1)^2 x^{3/2} = (x^2 - 2x + 1)x^{3/2} = x^{7/2} - 2x^{5/2} + x^{3/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = 0$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}x^{1/2}$ (или $\frac{1}{2}\sqrt{x}$) за скобки:
$\frac{1}{2}\sqrt{x}(7x^2 - 10x + 3) = 0$.
Отсюда получаем:
1) $\frac{1}{2}\sqrt{x} = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $7x^2 - 10x + 3 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 100 - 84 = 16$.
$x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 7} = \frac{10 \pm 4}{14}$.
$x_2 = \frac{10+4}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
$x_3 = \frac{10-4}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
Все найденные значения $x = 0, x = 3/7, x = 1$ принадлежат области определения $x \ge 0$.

Ответ: $x = 0, x = \frac{3}{7}, x = 1$.

6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x$

Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 12 = 12x^3 - 12x^2 + 12x - 12$.
Приравняем производную к нулю:
$12x^3 - 12x^2 + 12x - 12 = 0$.
Разделим все уравнение на 12:
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Уравнение не имеет действительных корней.
Единственное решение - $x=1$.

Ответ: $x = 1$.

183. Найти f'(1), если:

1) $f(x)=(x-1)^9 (2-x)^8$;

2) $f(x)=(2x-1)^5 (1+x)^4$;

3) $f(x)=\sqrt[3]{2-x} \cdot (2-3x)^6$;

4) $f(x)=(5x-4)^6 \cdot \sqrt{3x-2}$.

1)

Дана функция $f(x) = (x-1)^9 (2-x)^8$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (x-1)^9$ и $v(x) = (2-x)^8$. Найдем их производные, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = 9(x-1)^{9-1} \cdot (x-1)' = 9(x-1)^8 \cdot 1 = 9(x-1)^8$. $v'(x) = 8(2-x)^{8-1} \cdot (2-x)' = 8(2-x)^7 \cdot (-1) = -8(2-x)^7$. Теперь подставим все в формулу производной произведения: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 9(x-1)^8 (2-x)^8 + (x-1)^9 (-8(2-x)^7)$. Вычислим значение производной в точке $x=1$: $f'(1) = 9(1-1)^8 (2-1)^8 + (1-1)^9 (-8(2-1)^7) = 9 \cdot 0^8 \cdot 1^8 - 8 \cdot 0^9 \cdot 1^7 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: $0$

2)

Дана функция $f(x) = (2x-1)^5 (1+x)^4$. Применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (2x-1)^5$ и $v(x) = (1+x)^4$. Найдем их производные: $u'(x) = 5(2x-1)^4 \cdot (2x-1)' = 5(2x-1)^4 \cdot 2 = 10(2x-1)^4$. $v'(x) = 4(1+x)^3 \cdot (1+x)' = 4(1+x)^3 \cdot 1 = 4(1+x)^3$. Производная функции: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 10(2x-1)^4 (1+x)^4 + (2x-1)^5 \cdot 4(1+x)^3$. Вычислим значение $f'(1)$: $f'(1) = 10(2 \cdot 1 - 1)^4 (1+1)^4 + (2 \cdot 1 - 1)^5 \cdot 4(1+1)^3 = 10 \cdot 1^4 \cdot 2^4 + 1^5 \cdot 4 \cdot 2^3 = 10 \cdot 16 + 1 \cdot 4 \cdot 8 = 160 + 32 = 192$.

Ответ: $192$

3)

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{2-x} \cdot (2-3x)^6$. Запишем ее в виде $f(x) = (2-x)^{1/3} (2-3x)^6$. Используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (2-x)^{1/3}$ и $v(x) = (2-3x)^6$. Найдем их производные: $u'(x) = \frac{1}{3}(2-x)^{1/3 - 1} \cdot (2-x)' = \frac{1}{3}(2-x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3}(2-x)^{-2/3}$. $v'(x) = 6(2-3x)^5 \cdot (2-3x)' = 6(2-3x)^5 \cdot (-3) = -18(2-3x)^5$. Производная функции: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -\frac{1}{3}(2-x)^{-2/3} (2-3x)^6 + (2-x)^{1/3} (-18(2-3x)^5)$. Вычислим значение $f'(1)$: $f'(1) = -\frac{1}{3}(2-1)^{-2/3} (2-3 \cdot 1)^6 - 18(2-1)^{1/3} (2-3 \cdot 1)^5 = -\frac{1}{3}(1)^{-2/3}(-1)^6 - 18(1)^{1/3}(-1)^5 = -\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 - 18 \cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} + 18 = \frac{-1+54}{3} = \frac{53}{3}$.

Ответ: $\frac{53}{3}$

4)

Дана функция $f(x) = (5x-4)^6 \sqrt{3x-2}$. Запишем ее в виде $f(x) = (5x-4)^6 (3x-2)^{1/2}$. Используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (5x-4)^6$ и $v(x) = (3x-2)^{1/2}$. Найдем их производные: $u'(x) = 6(5x-4)^5 \cdot (5x-4)' = 6(5x-4)^5 \cdot 5 = 30(5x-4)^5$. $v'(x) = \frac{1}{2}(3x-2)^{-1/2} \cdot (3x-2)' = \frac{1}{2}(3x-2)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2}(3x-2)^{-1/2}$. Производная функции: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 30(5x-4)^5 (3x-2)^{1/2} + (5x-4)^6 \cdot \frac{3}{2}(3x-2)^{-1/2}$. Вычислим значение $f'(1)$: $f'(1) = 30(5 \cdot 1 - 4)^5 \sqrt{3 \cdot 1 - 2} + (5 \cdot 1 - 4)^6 \cdot \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 1 - 2}} = 30(1)^5 \sqrt{1} + (1)^6 \frac{3}{2\sqrt{1}} = 30 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{3}{2} = 30 + \frac{3}{2} = \frac{60+3}{2} = \frac{63}{2}$.

Ответ: $\frac{63}{2}$

184. При каких значениях $x$ значение производной функции $y=(x-3)^5(2+5x)^6$ равно 0?

Для того чтобы найти значения x, при которых производная функции $y = (x - 3)^5 (2 + 5x)^6$ равна нулю, необходимо сначала найти эту производную, а затем приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Функция $y(x)$ представляет собой произведение двух функций: $u(x) = (x - 3)^5$ и $v(x) = (2 + 5x)^6$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$ по отдельности, применяя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная для $u(x) = (x - 3)^5$:

$u'(x) = ((x - 3)^5)' = 5(x - 3)^{5-1} \cdot (x - 3)' = 5(x - 3)^4 \cdot 1 = 5(x - 3)^4$.

Производная для $v(x) = (2 + 5x)^6$:

$v'(x) = ((2 + 5x)^6)' = 6(2 + 5x)^{6-1} \cdot (2 + 5x)' = 6(2 + 5x)^5 \cdot 5 = 30(2 + 5x)^5$.

Теперь подставим найденные выражения для $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x - 3)^4 \cdot (2 + 5x)^6 + (x - 3)^5 \cdot 30(2 + 5x)^5$.

Для упрощения выражения вынесем за скобки общие множители $5(x - 3)^4(2 + 5x)^5$:

$y' = 5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 \left( 1 \cdot (2 + 5x) + (x - 3) \cdot 6 \right)$.

Упростим выражение в больших скобках:

$(2 + 5x) + 6(x - 3) = 2 + 5x + 6x - 18 = 11x - 16$.

Таким образом, производная функции имеет следующий вид:

$y' = 5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16)$.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти требуемые значения x:

$5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1) $(x - 3)^4 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.

2) $(2 + 5x)^5 = 0 \implies 2 + 5x = 0 \implies 5x = -2 \implies x = -2/5 = -0.4$.

3) $11x - 16 = 0 \implies 11x = 16 \implies x = 16/11$.

Следовательно, производная функции обращается в нуль в трех точках.

Ответ: $x = 3; x = -2/5; x = 16/11$.

Найти производную функции (185–189).

185. 1) $\frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}$;

2) $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x-1}$.

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}$, мы воспользуемся правилом нахождения производной частного (дроби):
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
В данном случае:
$u(x) = x^5 + x^3 + x$
$v(x) = x+1$
Сначала найдем производные числителя $u'(x)$ и знаменателя $v'(x)$:
$u'(x) = (x^5 + x^3 + x)' = 5x^4 + 3x^2 + 1$
$v'(x) = (x+1)' = 1$
Теперь подставим полученные выражения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x+1) - (x^5 + x^3 + x) \cdot 1}{(x+1)^2}$
Упростим выражение в числителе. Сначала раскроем скобки:
$(5x^4 + 3x^2 + 1)(x+1) = 5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$
Теперь выполним вычитание в числителе:
$(5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1) - (x^5 + x^3 + x)$
$= 5x^5 - x^5 + 5x^4 + 3x^3 - x^3 + 3x^2 + x - x + 1$
$= 4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1$
В результате получаем производную:
$y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x+1)^2}$
Ответ: $\frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x+1)^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x-1}$ используем то же правило производной частного:
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
В данном случае:
$u(x) = x^4 + x^2 + 1$
$v(x) = x-1$
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x^4 + x^2 + 1)' = 4x^3 + 2x$
$v'(x) = (x-1)' = 1$
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = \frac{(4x^3 + 2x)(x-1) - (x^4 + x^2 + 1) \cdot 1}{(x-1)^2}$
Упростим числитель. Раскроем скобки:
$(4x^3 + 2x)(x-1) = 4x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 2x$
Выполним вычитание в числителе:
$(4x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 2x) - (x^4 + x^2 + 1)$
$= 4x^4 - x^4 - 4x^3 + 2x^2 - x^2 - 2x - 1$
$= 3x^4 - 4x^3 + x^2 - 2x - 1$
Таким образом, итоговая производная:
$y' = \frac{3x^4 - 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$
Ответ: $\frac{3x^4 - 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

186. 1) $- \frac{2}{x^4}$;

2) $4x^{-\frac{3}{2}}$;

3) $x^{-\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{5}{6}};

4) $2\sqrt[7]{x^2} - 3\sqrt[5]{x^{-2}};

5) $6\sqrt[6]{x^5} - \frac{5}{\sqrt[5]{x^4}};

6) $2x\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}}.$

1)

Задача состоит в нахождении первообразной (неопределенного интеграла) для функции $f(x) = -\frac{2}{x^4}$.

Сначала представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = -2x^{-4}$.

Для нахождения интеграла используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

$\int \left(-\frac{2}{x^4}\right) dx = \int -2x^{-4} dx = -2 \int x^{-4} dx$

Применяем формулу для $n=-4$:

$-2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = -2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = \frac{2}{3}x^{-3} + C$.

Запишем результат, используя положительный показатель степени:

$\frac{2}{3x^3} + C$.

Ответ: $\frac{2}{3x^3} + C$.

2)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 4x^{-\frac{3}{2}}$.

Функция уже представлена в виде степенной функции. Используем ту же формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 4x^{-\frac{3}{2}} dx = 4 \int x^{-\frac{3}{2}} dx$.

Применяем формулу для $n=-\frac{3}{2}$:

$4 \cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = 4 \cdot (-2)x^{-\frac{1}{2}} + C = -8x^{-\frac{1}{2}} + C$.

Запишем результат в виде дроби с корнем:

$-\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + C = -\frac{8}{\sqrt{x}} + C$.

Ответ: $-8x^{-\frac{1}{2}} + C$ или $-\frac{8}{\sqrt{x}} + C$.

3)

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{5}{6}}$.

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\int (x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{5}{6}}) dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx + \int 6x^{\frac{5}{6}} dx$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C_1 = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C_1$.

$\int 6x^{\frac{5}{6}} dx = 6 \int x^{\frac{5}{6}} dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{5}{6}+1}}{\frac{5}{6}+1} + C_2 = 6 \cdot \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\frac{11}{6}} + C_2 = 6 \cdot \frac{6}{11}x^{\frac{11}{6}} + C_2 = \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} + C_2$.

Складываем результаты и объединяем константы $C_1+C_2=C$:

$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} + C$.

Ответ: $\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} + C$.

4)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sqrt[7]{x^2} - 3\sqrt[5]{x^{-2}}$.

Сначала представим функцию в виде степенных функций, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:

$f(x) = 2x^{\frac{2}{7}} - 3x^{-\frac{2}{5}}$.

Интегрируем, используя правило для разности функций:

$\int (2x^{\frac{2}{7}} - 3x^{-\frac{2}{5}}) dx = \int 2x^{\frac{2}{7}} dx - \int 3x^{-\frac{2}{5}} dx$.

$2 \int x^{\frac{2}{7}} dx - 3 \int x^{-\frac{2}{5}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{7}+1}}{\frac{2}{7}+1} - 3 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{5}+1}}{-\frac{2}{5}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{7}}}{\frac{9}{7}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{5}}}{\frac{3}{5}} + C$.

Упрощаем выражение:

$2 \cdot \frac{7}{9}x^{\frac{9}{7}} - 3 \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{3}{5}} + C = \frac{14}{9}x^{\frac{9}{7}} - 5x^{\frac{3}{5}} + C$.

Можно представить ответ с использованием корней: $\frac{14}{9}\sqrt[7]{x^9} - 5\sqrt[5]{x^3} + C = \frac{14}{9}x\sqrt[7]{x^2} - 5\sqrt[5]{x^3} + C$.

Ответ: $\frac{14}{9}x^{\frac{9}{7}} - 5x^{\frac{3}{5}} + C$.

5)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 6\sqrt[6]{x^5} - \frac{5}{\sqrt[5]{x^4}}$.

Представим функцию в виде степенных функций:

$f(x) = 6x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{4}{5}}$.

Интегрируем:

$\int (6x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{4}{5}}) dx = 6 \int x^{\frac{5}{6}} dx - 5 \int x^{-\frac{4}{5}} dx$.

$6 \cdot \frac{x^{\frac{5}{6}+1}}{\frac{5}{6}+1} - 5 \cdot \frac{x^{-\frac{4}{5}+1}}{-\frac{4}{5}+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\frac{11}{6}} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}} + C$.

Упрощаем выражение:

$6 \cdot \frac{6}{11}x^{\frac{11}{6}} - 5 \cdot 5x^{\frac{1}{5}} + C = \frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} - 25x^{\frac{1}{5}} + C$.

Можно представить ответ с использованием корней: $\frac{36}{11}\sqrt[6]{x^{11}} - 25\sqrt[5]{x} + C = \frac{36}{11}x\sqrt[6]{x^5} - 25\sqrt[5]{x} + C$.

Ответ: $\frac{36}{11}x^{\frac{11}{6}} - 25x^{\frac{1}{5}} + C$.

6)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}}$.

Представим функцию в виде степенных функций. Для этого сначала упростим каждый член:

$2x\sqrt[3]{x^2} = 2x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}} = 2x^{1+\frac{2}{3}} = 2x^{\frac{5}{3}}$.

$\frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}} = \frac{4}{x^1 \cdot x^{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{x^{1+\frac{3}{4}}} = \frac{4}{x^{\frac{7}{4}}} = 4x^{-\frac{7}{4}}$.

Таким образом, $f(x) = 2x^{\frac{5}{3}} + 4x^{-\frac{7}{4}}$.

Интегрируем:

$\int (2x^{\frac{5}{3}} + 4x^{-\frac{7}{4}}) dx = 2\int x^{\frac{5}{3}} dx + 4\int x^{-\frac{7}{4}} dx$.

$2 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}+1}}{\frac{5}{3}+1} + 4 \cdot \frac{x^{-\frac{7}{4}+1}}{-\frac{7}{4}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} + 4 \cdot \frac{x^{-\frac{3}{4}}}{-\frac{3}{4}} + C$.

Упрощаем выражение:

$2 \cdot \frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}} + 4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)x^{-\frac{3}{4}} + C = \frac{6}{8}x^{\frac{8}{3}} - \frac{16}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{8}{3}} - \frac{16}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C$.

Можно представить ответ с использованием корней: $\frac{3}{4}\sqrt[3]{x^8} - \frac{16}{3\sqrt[4]{x^3}} + C = \frac{3}{4}x^2\sqrt[3]{x^2} - \frac{16}{3\sqrt[4]{x^3}} + C$.

Ответ: $\frac{3}{4}x^{\frac{8}{3}} - \frac{16}{3}x^{-\frac{3}{4}} + C$.

187. 1) $(x+2)\sqrt[3]{x};$

2) $(x+1)\sqrt{x};$

3) $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^2;$

4) $\frac{x^3+2}{\sqrt[3]{x}}, \bullet$

5) $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}});$

6) $(\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^2.$

1) Чтобы упростить выражение $(x+2)\sqrt[3]{x}$, раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt[3]{x}$.
$(x+2)\sqrt[3]{x} = x \cdot \sqrt[3]{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{x}$
Для преобразования первого слагаемого $x \cdot \sqrt[3]{x}$, представим $x$ как корень третьей степени: $x = \sqrt[3]{x^3}$.
Тогда $x \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^4}$.
Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
$\sqrt[3]{x^4} + 2\sqrt[3]{x}$.
Ответ: $\sqrt[3]{x^4} + 2\sqrt[3]{x}$

2) Раскроем скобки в выражении $(x+1)\sqrt{x}$, умножив каждый член на $\sqrt{x}$.
$(x+1)\sqrt{x} = x \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x} + \sqrt{x}$
Преобразуем первое слагаемое, представив $x$ как $\sqrt{x^2}$:
$x\sqrt{x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^3}$.
Получаем следующее выражение:
$\sqrt{x^3} + \sqrt{x}$.
Ответ: $\sqrt{x^3} + \sqrt{x}$

3) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае, $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.
Найдем каждый член формулы:
$a^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = (x^{1/4})^2 = x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.
$b^2 = \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 = \frac{1}{(\sqrt[4]{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = 2 \cdot 1 = 2$.
Соберем все вместе:
$\sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $\sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

4) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3+2}{\sqrt[3]{x}}$, разделим каждый член числителя на знаменатель.
$\frac{x^3+2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$
Упростим первое слагаемое, используя свойства степеней ($\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$):
$\frac{x^3}{x^{1/3}} = x^{3 - 1/3} = x^{9/3 - 1/3} = x^{8/3}$.
Теперь запишем результат в виде корня: $x^{8/3} = \sqrt[3]{x^8}$. Можно вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{x^8} = \sqrt[3]{x^6 \cdot x^2} = x^2\sqrt[3]{x^2}$.
Итоговое выражение:
$x^2\sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $x^2\sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

5) Данное выражение $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}})$ является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.
Найдем квадраты этих выражений:
$a^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$.
$b^2 = \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Результатом будет разность этих квадратов:
$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

6) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt[3]{x}$.
Найдем каждый член формулы:
$a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.
$b^2 = (\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$. Для перемножения корней приведем их к общему показателю 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$\sqrt{x} = x^{1/2} = x^{3/6} = \sqrt[6]{x^3}$
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3} = x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^2} = 2\sqrt[6]{x^{3+2}} = 2\sqrt[6]{x^5}$.
Собираем все части по формуле:
$x - 2\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $x - 2\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[3]{x^2}$

188. 1) $(2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1);$
2) $(x - 1)^4 (x + 1)^7;$
3) $\sqrt[4]{3x + 2} \cdot (3x - 1)^4;$
4) $\sqrt[3]{2x + 1} \cdot (2x - 3)^3.$

1) Для нахождения производной функции $y = (2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (2x - 3)^5$ и $v = (3x^2 + 2x + 1)$.

Найдем производную $u'$ по цепному правилу:

$u' = ((2x - 3)^5)' = 5(2x - 3)^{5-1} \cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2 = 10(2x - 3)^4$.

Найдем производную $v'$:

$v' = (3x^2 + 2x + 1)' = 6x + 2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 10(2x - 3)^4 (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)^5 (6x + 2)$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $(2x - 3)^4$:

$y' = (2x - 3)^4 [10(3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)(6x + 2)]$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$y' = (2x - 3)^4 [ (30x^2 + 20x + 10) + (12x^2 + 4x - 18x - 6) ]$.

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (2x - 3)^4 [30x^2 + 20x + 10 + 12x^2 - 14x - 6] = (2x - 3)^4 (42x^2 + 6x + 4)$.

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$y' = (2x - 3)^4 \cdot 2(21x^2 + 3x + 2) = 2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$.

Ответ: $2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$.

2) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)^4 (x + 1)^7$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (x - 1)^4$ и $v = (x + 1)^7$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:

$u' = ((x - 1)^4)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = 4(x - 1)^3 \cdot 1 = 4(x - 1)^3$.

$v' = ((x + 1)^7)' = 7(x + 1)^6 \cdot (x + 1)' = 7(x + 1)^6 \cdot 1 = 7(x + 1)^6$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 4(x - 1)^3 (x + 1)^7 + (x - 1)^4 \cdot 7(x + 1)^6$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общие множители $(x - 1)^3$ и $(x + 1)^6$:

$y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4(x + 1) + 7(x - 1)]$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые внутри квадратных скобок:

$y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4x + 4 + 7x - 7] = (x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$.

Ответ: $(x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[4]{3x+2} \cdot (3x-1)^4$ представим корень в виде степени: $y = (3x+2)^{1/4} \cdot (3x-1)^4$.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (3x+2)^{1/4}$ и $v = (3x-1)^4$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:

$u' = ((3x+2)^{1/4})' = \frac{1}{4}(3x+2)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (3x+2)' = \frac{1}{4}(3x+2)^{-3/4} \cdot 3 = \frac{3}{4(3x+2)^{3/4}}$.

$v' = ((3x-1)^4)' = 4(3x-1)^{4-1} \cdot (3x-1)' = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{3}{4(3x+2)^{3/4}} \cdot (3x-1)^4 + (3x+2)^{1/4} \cdot 12(3x-1)^3$.

Для упрощения приведем слагаемые к общему знаменателю $4(3x+2)^{3/4}$:

$y' = \frac{3(3x-1)^4}{4(3x+2)^{3/4}} + \frac{12(3x-1)^3 (3x+2)^{1/4} \cdot 4(3x+2)^{3/4}}{4(3x+2)^{3/4}} = \frac{3(3x-1)^4 + 48(3x-1)^3 (3x+2)}{4(3x+2)^{3/4}}$.

Вынесем в числителе общий множитель $3(3x-1)^3$:

$y' = \frac{3(3x-1)^3 [(3x-1) + 16(3x+2)]}{4(3x+2)^{3/4}}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$y' = \frac{3(3x-1)^3 [3x - 1 + 48x + 32]}{4(3x+2)^{3/4}} = \frac{3(3x-1)^3 (51x+31)}{4(3x+2)^{3/4}}$.

Запишем ответ, используя знак корня:

$y' = \frac{3(3x-1)^3 (51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}$.

Ответ: $\frac{3(3x-1)^3(51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{2x+1} \cdot (2x-3)^3$ представим корень в виде степени: $y = (2x+1)^{1/3} \cdot (2x-3)^3$.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = (2x+1)^{1/3}$ и $v = (2x-3)^3$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по цепному правилу:

$u' = ((2x+1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{3}(2x+1)^{-2/3} \cdot 2 = \frac{2}{3(2x+1)^{2/3}}$.

$v' = ((2x-3)^3)' = 3(2x-3)^{3-1} \cdot (2x-3)' = 3(2x-3)^2 \cdot 2 = 6(2x-3)^2$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{2(2x-3)^3}{3(2x+1)^{2/3}} + 6(2x-3)^2 (2x+1)^{1/3}$.

Приведем к общему знаменателю $3(2x+1)^{2/3}$:

$y' = \frac{2(2x-3)^3 + 6(2x-3)^2 (2x+1)^{1/3} \cdot 3(2x+1)^{2/3}}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{2(2x-3)^3 + 18(2x-3)^2 (2x+1)}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Вынесем в числителе общий множитель $2(2x-3)^2$:

$y' = \frac{2(2x-3)^2 [(2x-3) + 9(2x+1)]}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$y' = \frac{2(2x-3)^2 [2x-3 + 18x+9]}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{2(2x-3)^2 (20x+6)}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Вынесем множитель 2 из скобки $(20x+6)$:

$y' = \frac{2(2x-3)^2 \cdot 2(10x+3)}{3(2x+1)^{2/3}} = \frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3(2x+1)^{2/3}}$.

Запишем ответ, используя знак корня:

$y' = \frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$.

Ответ: $\frac{4(2x-3)^2 (10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$.

189. 1) $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1};$

2) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1};$

3) $\frac{2x}{1 - x^2} + \frac{1}{x};$

4) $\frac{2 - x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2 - x}.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1}$, сначала попробуем разложить числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение на множители имеет вид: $2(x - 1)(x - \frac{1}{2}) = (2x - 1)(x - 1)$.
Подставим в дробь: $\frac{(2x - 1)(x - 1)}{x + 1}$.
Так как общих множителей у числителя и знаменателя нет, сократить дробь нельзя. В этом случае для упрощения можно выполнить деление многочлена на многочлен ("уголком"):
$ \begin{array}{r|l} \_2x^2 - 3x + 1 & x + 1 \\ \underline{2x^2 + 2x} \phantom{+1} & 2x - 5 \\ \_ -5x + 1 \\ \underline{-5x - 5} \\ 6 \end{array} $
В результате деления получаем частное $2x - 5$ и остаток $6$. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде суммы целой части и дроби:
$2x - 5 + \frac{6}{x + 1}$.
Ответ: $2x - 5 + \frac{6}{x + 1}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1}$. Разложим числитель $3x^2 + 2x - 1$ на множители, найдя корни уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
Разложение на множители: $3(x - \frac{1}{3})(x - (-1)) = (3x - 1)(x + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(3x - 1)(x + 1)}{2x + 1}$.
Сокращение невозможно. Выполним деление многочленов "уголком":
$ \begin{array}{r|l} \_3x^2 + 2x - 1 & 2x + 1 \\ \underline{3x^2 + \frac{3}{2}x} \phantom{-1..} & \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} \\ \_ \frac{1}{2}x - 1 \\ \underline{\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}} \\ -\frac{5}{4} \end{array} $
Результатом деления является частное $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}$ и остаток $-\frac{5}{4}$.
Таким образом, выражение можно записать как: $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4(2x+1)}$.
Ответ: $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4(2x + 1)}$

3) Упростим сумму дробей $\frac{2x}{1 - x^2} + \frac{1}{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями $1 - x^2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$ и $x \neq 0$.
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$. Общий знаменатель равен $x(1 - x^2)$.
$\frac{2x \cdot x}{x(1 - x^2)} + \frac{1 \cdot (1 - x^2)}{x(1 - x^2)} = \frac{2x^2 + 1 - x^2}{x(1 - x^2)}$.
Упростим числитель: $2x^2 + 1 - x^2 = x^2 + 1$.
Итоговое выражение:
$\frac{x^2 + 1}{x(1 - x^2)}$.
Ответ: $\frac{x^2 + 1}{x(1 - x^2)}$

4) Упростим выражение $\frac{2-x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2-x}$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатели не должны быть равны нулю ($\sqrt{x} \neq 0$ и $2 - x \neq 0$). Отсюда получаем $x > 0$ и $x \neq 2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{x}(2-x)$: $\frac{(2-x)(2-x)}{\sqrt{x}(2-x)} + \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(2-x)} = \frac{(2-x)^2 + (\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}(2-x)}$.
Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(2-x)^2 + (\sqrt{x})^2 = (4 - 4x + x^2) + x = x^2 - 3x + 4$.
Получаем дробь: $\frac{x^2 - 3x + 4}{\sqrt{x}(2 - x)}$.
Проверим, можно ли разложить на множители числитель $x^2 - 3x + 4$. Дискриминант уравнения $x^2 - 3x + 4 = 0$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители. Выражение упрощено.
Ответ: $\frac{x^2 - 3x + 4}{\sqrt{x}(2 - x)}$

190. Найти точки, в которых значение производной функции $f(x)$ равно 1:

1) $f(x) = x^4 + 8x^3 + x - 3;$

2) $f(x) = 2x^5 + 5x^2 + x + 4;$

3) $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 16}{x};$

4) $f(x) = \frac{x\sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}.$

1) Дана функция $f(x) = x^4 + 8x^3 + x - 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^4)' + (8x^3)' + (x)' - (3)' = 4x^{4-1} + 8 \cdot 3x^{3-1} + 1 - 0 = 4x^3 + 24x^2 + 1$.

Теперь приравняем значение производной к 1, как указано в условии задачи:

$f'(x) = 1$

$4x^3 + 24x^2 + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$4x^3 + 24x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:

$4x^2(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

$4x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

Ответ: $x = 0$, $x = -6$.

2) Дана функция $f(x) = 2x^5 + 5x^2 + x + 4$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^5)' + (5x^2)' + (x)' + (4)' = 2 \cdot 5x^{5-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} + 1 + 0 = 10x^4 + 10x + 1$.

Приравняем производную к 1:

$10x^4 + 10x + 1 = 1$

$10x^4 + 10x = 0$

Вынесем общий множитель $10x$ за скобки:

$10x(x^3 + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$10x = 0 \implies x_1 = 0$

$x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x_2 = -1$

Ответ: $x = 0$, $x = -1$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 16}{x}$.

Область определения функции: $x \neq 0$. Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$f(x) = \frac{x^3}{x} + \frac{x^2}{x} + \frac{16}{x} = x^2 + x + 16x^{-1}$.

Теперь найдем производную этой функции:

$f'(x) = (x^2)' + (x)' + (16x^{-1})' = 2x + 1 + 16(-1)x^{-2} = 2x + 1 - \frac{16}{x^2}$.

Приравняем производную к 1:

$2x + 1 - \frac{16}{x^2} = 1$

$2x - \frac{16}{x^2} = 0$

Домножим обе части уравнения на $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$2x^3 - 16 = 0$

$2x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8} \implies x = 2$

Ответ: $x = 2$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x\sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}$.

Область определения функции: $x \neq 0$. Перепишем функцию, используя степени: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

$f(x) = \frac{x \cdot x^{1/3} + 3x + 18}{x^{1/3}} = \frac{x^{4/3} + 3x^1 + 18}{x^{1/3}}$.

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$f(x) = \frac{x^{4/3}}{x^{1/3}} + \frac{3x^1}{x^{1/3}} + \frac{18}{x^{1/3}} = x^{4/3 - 1/3} + 3x^{1 - 1/3} + 18x^{-1/3} = x^1 + 3x^{2/3} + 18x^{-1/3}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (x)' + (3x^{2/3})' + (18x^{-1/3})' = 1 + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} + 18 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1} = 1 + 2x^{-1/3} - 6x^{-4/3}$.

Приравняем производную к 1:

$1 + 2x^{-1/3} - 6x^{-4/3} = 1$

$2x^{-1/3} - 6x^{-4/3} = 0$

$\frac{2}{x^{1/3}} - \frac{6}{x^{4/3}} = 0$

Домножим обе части на $x^{4/3}$ (так как $x \neq 0$):

$2\frac{x^{4/3}}{x^{1/3}} - 6 = 0$

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.