Номер 182, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 182, страница 83.

Условие.

182. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0:

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2;$

2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5;$

3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5);$

4) $f(x) = x + \frac{1}{x};$

5) $f(x) = (x-1)^2 x\sqrt{x};$

6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем производную функции $f'(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (3x^4)' - (4x^3)' - (12x^2)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 - 12 \cdot 2x = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$.
Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:
$12x(x^2 - x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $12x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 - x - 2 = 0$. Это квадратное уравнение. Его корни $x_2 = 2$ и $x_3 = -1$.
Таким образом, производная равна нулю при $x = -1, x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 2$.

2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5$

Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (x^4)' + (4x^3)' - (8x^2)' - (5)' = 4x^3 + 4 \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x - 0 = 4x^3 + 12x^2 - 16x$.
Приравняем производную к нулю:
$4x^3 + 12x^2 - 16x = 0$.
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 + 3x - 4) = 0$.
Отсюда получаем:
1) $4x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = -4$.
Таким образом, производная равна нулю при $x = -4, x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: $x = -4, x = 0, x = 1$.

3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5)$

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить функцию:
$f(x) = x^2 \cdot 2x^2 + x^2 \cdot 5 + 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 5 = 2x^4 + 5x^2 + 6x^2 + 15 = 2x^4 + 11x^2 + 15$.
Теперь найдем производную полученной функции:
$f'(x) = (2x^4)' + (11x^2)' + (15)' = 2 \cdot 4x^3 + 11 \cdot 2x + 0 = 8x^3 + 22x$.
Приравняем производную к нулю:
$8x^3 + 22x = 0$.
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(4x^2 + 11) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x = 0 \implies x = 0$.
2) $4x^2 + 11 = 0 \implies 4x^2 = -11$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственное решение - это $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную функции. Для этого представим $f(x)$ в виде $f(x) = x + x^{-1}$.
$f'(x) = (x)' + (x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0$.
$1 = \frac{1}{x^2}$.
Отсюда следует, что $x^2 = 1$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

5) $f(x) = (x-1)^2 x\sqrt{x}$

Область определения функции задается условием $x \ge 0$.
Упростим выражение для функции: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
$f(x) = (x-1)^2 x^{3/2} = (x^2 - 2x + 1)x^{3/2} = x^{7/2} - 2x^{5/2} + x^{3/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = 0$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}x^{1/2}$ (или $\frac{1}{2}\sqrt{x}$) за скобки:
$\frac{1}{2}\sqrt{x}(7x^2 - 10x + 3) = 0$.
Отсюда получаем:
1) $\frac{1}{2}\sqrt{x} = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $7x^2 - 10x + 3 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 100 - 84 = 16$.
$x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 7} = \frac{10 \pm 4}{14}$.
$x_2 = \frac{10+4}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
$x_3 = \frac{10-4}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
Все найденные значения $x = 0, x = 3/7, x = 1$ принадлежат области определения $x \ge 0$.

Ответ: $x = 0, x = \frac{3}{7}, x = 1$.

6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x$

Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 12 = 12x^3 - 12x^2 + 12x - 12$.
Приравняем производную к нулю:
$12x^3 - 12x^2 + 12x - 12 = 0$.
Разделим все уравнение на 12:
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Уравнение не имеет действительных корней.
Единственное решение - $x=1$.

Ответ: $x = 1$.