Номер 182, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Производная степенной функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 182, страница 83.

№182 (с. 83)
Условие. №182 (с. 83)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Условие

182. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0:

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2;$

2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5;$

3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5);$

4) $f(x) = x + \frac{1}{x};$

5) $f(x) = (x-1)^2 x\sqrt{x};$

6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x.$

Решение 1. №182 (с. 83)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 1 (продолжение 6)
Решение 2. №182 (с. 83)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 83, номер 182, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №182 (с. 83)

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем производную функции $f'(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (3x^4)' - (4x^3)' - (12x^2)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 - 12 \cdot 2x = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$.
Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:
$12x(x^2 - x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $12x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 - x - 2 = 0$. Это квадратное уравнение. Его корни $x_2 = 2$ и $x_3 = -1$.
Таким образом, производная равна нулю при $x = -1, x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 2$.

2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5$

Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (x^4)' + (4x^3)' - (8x^2)' - (5)' = 4x^3 + 4 \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x - 0 = 4x^3 + 12x^2 - 16x$.
Приравняем производную к нулю:
$4x^3 + 12x^2 - 16x = 0$.
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 + 3x - 4) = 0$.
Отсюда получаем:
1) $4x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = -4$.
Таким образом, производная равна нулю при $x = -4, x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: $x = -4, x = 0, x = 1$.

3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5)$

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить функцию:
$f(x) = x^2 \cdot 2x^2 + x^2 \cdot 5 + 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 5 = 2x^4 + 5x^2 + 6x^2 + 15 = 2x^4 + 11x^2 + 15$.
Теперь найдем производную полученной функции:
$f'(x) = (2x^4)' + (11x^2)' + (15)' = 2 \cdot 4x^3 + 11 \cdot 2x + 0 = 8x^3 + 22x$.
Приравняем производную к нулю:
$8x^3 + 22x = 0$.
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(4x^2 + 11) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x = 0 \implies x = 0$.
2) $4x^2 + 11 = 0 \implies 4x^2 = -11$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственное решение - это $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную функции. Для этого представим $f(x)$ в виде $f(x) = x + x^{-1}$.
$f'(x) = (x)' + (x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0$.
$1 = \frac{1}{x^2}$.
Отсюда следует, что $x^2 = 1$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

5) $f(x) = (x-1)^2 x\sqrt{x}$

Область определения функции задается условием $x \ge 0$.
Упростим выражение для функции: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
$f(x) = (x-1)^2 x^{3/2} = (x^2 - 2x + 1)x^{3/2} = x^{7/2} - 2x^{5/2} + x^{3/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = 0$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}x^{1/2}$ (или $\frac{1}{2}\sqrt{x}$) за скобки:
$\frac{1}{2}\sqrt{x}(7x^2 - 10x + 3) = 0$.
Отсюда получаем:
1) $\frac{1}{2}\sqrt{x} = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $7x^2 - 10x + 3 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 100 - 84 = 16$.
$x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 7} = \frac{10 \pm 4}{14}$.
$x_2 = \frac{10+4}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
$x_3 = \frac{10-4}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
Все найденные значения $x = 0, x = 3/7, x = 1$ принадлежат области определения $x \ge 0$.

Ответ: $x = 0, x = \frac{3}{7}, x = 1$.

6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x$

Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 12 = 12x^3 - 12x^2 + 12x - 12$.
Приравняем производную к нулю:
$12x^3 - 12x^2 + 12x - 12 = 0$.
Разделим все уравнение на 12:
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Уравнение не имеет действительных корней.
Единственное решение - $x=1$.

Ответ: $x = 1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 182 расположенного на странице 83 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №182 (с. 83), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.