Номер 179, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 179, страница 82.

Условие.

Найти производную функции (179–180).

179. 1) $x^6$;

2) $x^{12}$;

3) $3x^4 + 2x^{13}$;

4) $7x^3 - 3x^7$;

5) $\frac{3}{x^4}$;

6) $x^3 + \frac{1}{x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения всех пунктов используется основная формула производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также правила дифференцирования суммы, разности и произведения функции на константу.

1) $x^6$

Для нахождения производной функции $y=x^6$ применим формулу производной степенной функции, где показатель степени $n=6$.

$y' = (x^6)' = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5$.

Ответ: $6x^5$.

2) $x^{12}$

Для нахождения производной функции $y=x^{12}$ применим формулу производной степенной функции, где показатель степени $n=12$.

$y' = (x^{12})' = 12 \cdot x^{12-1} = 12x^{11}$.

Ответ: $12x^{11}$.

3) $3x^4 + 2x^{13}$

Для нахождения производной функции $y = 3x^4 + 2x^{13}$ используем правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$, правило вынесения константы $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и формулу производной степенной функции.

$y' = (3x^4 + 2x^{13})' = (3x^4)' + (2x^{13})' = 3 \cdot (x^4)' + 2 \cdot (x^{13})'$.

Вычисляем производные для каждого слагаемого:

$3 \cdot (4x^{4-1}) + 2 \cdot (13x^{13-1}) = 12x^3 + 26x^{12}$.

Ответ: $12x^3 + 26x^{12}$.

4) $7x^3 - 3x^7$

Для нахождения производной функции $y = 7x^3 - 3x^7$ используем правило производной разности $(u-v)' = u' - v'$ и другие правила, как в предыдущем пункте.

$y' = (7x^3 - 3x^7)' = (7x^3)' - (3x^7)' = 7 \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^7)'$.

Вычисляем производные:

$7 \cdot (3x^{3-1}) - 3 \cdot (7x^{7-1}) = 21x^2 - 21x^6$.

Ответ: $21x^2 - 21x^6$.

5) $\frac{3}{x^4}$

Сначала представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = \frac{3}{x^4} = 3x^{-4}$.

Теперь находим производную, используя правило вынесения константы и формулу для степенной функции, где $n=-4$.

$y' = (3x^{-4})' = 3 \cdot (x^{-4})' = 3 \cdot (-4x^{-4-1}) = -12x^{-5}$.

Запишем результат в виде дроби с положительным показателем степени в знаменателе:

$y' = -\frac{12}{x^5}$.

Ответ: $-\frac{12}{x^5}$.

6) $x^3 + \frac{1}{x^2}$

Представим второе слагаемое в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^3 + x^{-2}$.

Применяем правило производной суммы и формулу производной степенной функции для каждого слагаемого.

$y' = (x^3 + x^{-2})' = (x^3)' + (x^{-2})' = 3x^{3-1} + (-2)x^{-2-1} = 3x^2 - 2x^{-3}$.

Запишем слагаемое с отрицательной степенью в виде дроби:

$y' = 3x^2 - \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $3x^2 - \frac{2}{x^3}$.