Номер 175, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 175, страница 80.

Условие.

175. Выяснить, при каких значениях x производная функции f(x) принимает отрицательные значения, если:

1) $f(x) = \frac{3x^2-1}{1-2x}$;

2) $f(x) = \frac{3x^3}{1-3x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{3x^2 - 1}{1 - 2x}$.

Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ производная функции принимает отрицательные значения, необходимо найти производную $f'(x)$ и решить неравенство $f'(x) < 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3x^2 - 1$ и $v(x) = 1 - 2x$. Тогда их производные равны $u'(x) = 6x$ и $v'(x) = -2$.

Подставим эти значения в формулу:

$f'(x) = \frac{(3x^2 - 1)'(1 - 2x) - (3x^2 - 1)(1 - 2x)'}{(1 - 2x)^2} = \frac{6x(1 - 2x) - (3x^2 - 1)(-2)}{(1 - 2x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{6x - 12x^2 - (-6x^2 + 2)}{(1 - 2x)^2} = \frac{6x - 12x^2 + 6x^2 - 2}{(1 - 2x)^2} = \frac{-6x^2 + 6x - 2}{(1 - 2x)^2}$

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$\frac{-6x^2 + 6x - 2}{(1 - 2x)^2} < 0$

Знаменатель $(1 - 2x)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения функции, то есть при $x \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, знак всей дроби определяется знаком числителя.

$-6x^2 + 6x - 2 < 0$

Для удобства разделим обе части неравенства на $-2$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 3x + 1 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 3x + 1$. Найдем ее дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для определения корней.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, парабола $y = 3x^2 - 3x + 1$ не имеет пересечений с осью $x$ и ее ветви направлены вверх. Это означает, что выражение $3x^2 - 3x + 1$ положительно при всех действительных значениях $x$.

Следовательно, исходное неравенство для числителя $-6x^2 + 6x - 2 < 0$ также верно для всех действительных $x$.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всей своей области определения, которая исключает только точку, где знаменатель равен нулю, то есть $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{3x^3}{1 - 3x}$.

Аналогично первому пункту, найдем производную $f'(x)$ и решим неравенство $f'(x) < 0$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 3x^3$ и $v(x) = 1 - 3x$. Тогда $u'(x) = 9x^2$ и $v'(x) = -3$.

$f'(x) = \frac{(3x^3)'(1 - 3x) - (3x^3)(1 - 3x)'}{(1 - 3x)^2} = \frac{9x^2(1 - 3x) - 3x^3(-3)}{(1 - 3x)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{9x^2 - 27x^3 + 9x^3}{(1 - 3x)^2} = \frac{9x^2 - 18x^3}{(1 - 3x)^2}$

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$\frac{9x^2 - 18x^3}{(1 - 3x)^2} < 0$

Знаменатель $(1 - 3x)^2$ положителен при всех $x$ из области определения ($x \neq \frac{1}{3}$). Значит, знак дроби зависит от знака числителя.

$9x^2 - 18x^3 < 0$

Вынесем общий множитель $9x^2$ за скобки:

$9x^2(1 - 2x) < 0$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x = 0$, то левая часть неравенства равна $0$. Неравенство $0 < 0$ является ложным, значит $x = 0$ не является решением.

2. Если $x \neq 0$, то множитель $9x^2$ строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $9x^2$, не меняя знака:

$1 - 2x < 0$

$1 < 2x$

$x > \frac{1}{2}$

Полученный интервал $x > \frac{1}{2}$ не содержит точку $x = \frac{1}{3}$, которая не входит в область определения функции, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.