Номер 177, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 177, страница 80.

Условие.

177. Найти производную функции g(x), обратной к функции f(x), если:

1) $f(x) = \frac{2x+3}{x-2}$;

2) $f(x) = x^2$, $x > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = \frac{2x+3}{x-2}$

Чтобы найти производную функции $g(x)$, обратной к функции $f(x)$, сначала найдем саму функцию $g(x)$. Для этого в уравнении $y = f(x)$ выразим $x$ через $y$.

Пусть $y = \frac{2x+3}{x-2}$.

Умножим обе части на $(x-2)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$y(x-2) = 2x+3$

Раскроем скобки:

$yx - 2y = 2x+3$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$yx - 2x = 2y+3$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y-2) = 2y+3$

Разделим на $(y-2)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{2y+3}{y-2}$

Мы нашли выражение для обратной функции: $x = g(y) = \frac{2y+3}{y-2}$. Для записи функции $g(x)$ в привычном виде заменим переменную $y$ на $x$:

$g(x) = \frac{2x+3}{x-2}$

Теперь, когда у нас есть явный вид функции $g(x)$, найдем ее производную $g'(x)$. Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 2x+3$ и $v = x-2$. Их производные: $u' = 2$, $v' = 1$.

$g'(x) = \left(\frac{2x+3}{x-2}\right)' = \frac{(2x+3)'(x-2) - (2x+3)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2(x-2) - (2x+3) \cdot 1}{(x-2)^2}$

Упростим числитель:

$g'(x) = \frac{2x - 4 - 2x - 3}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}$

Ответ: $g'(x) = -\frac{7}{(x-2)^2}$

2) $f(x) = x^2, x > 0$

Сначала найдем функцию $g(x)$, обратную к $f(x)$. Пусть $y = f(x)$, тогда $y = x^2$.

Выразим $x$ через $y$:

$x^2 = y$

$x = \pm\sqrt{y}$

Согласно условию, область определения исходной функции $f(x)$ — это $x > 0$. Это означает, что область значений обратной функции $g(x)$ также должна быть положительной. Поэтому мы должны выбрать положительное значение корня:

$x = \sqrt{y}$

Таким образом, обратная функция $g(y) = \sqrt{y}$. Заменив $y$ на $x$, получаем:

$g(x) = \sqrt{x}$

Теперь найдем производную функции $g(x)$. Представим корень в виде степени:

$g(x) = x^{1/2}$

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Запишем результат в более привычном виде:

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$