Страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

171. Записать формулой функцию $f(g(x))$; найти её область определения и множество значений, если:

1) $f(y) = y^2$, $y = g(x) = x + 1;

2) $f(y) = \lg y$, $y = g(x) = \sqrt{x - 1};

3) $f(y) = \frac{y+1}{y-2}$, $y = g(x) = \log_2 x;

4) $f(y) = \sqrt{y}$, $y = g(x) = \frac{x+2}{x-3}.

1) Даны функции $f(y) = y^2$ и $y = g(x) = x+1$.

Чтобы найти формулу для сложной функции $f(g(x))$, нужно подставить выражение для $g(x)$ в функцию $f(y)$ вместо $y$:
$f(g(x)) = (g(x))^2 = (x+1)^2$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Область определения сложной функции $f(g(x))$ состоит из всех $x$, для которых $x$ принадлежит области определения $g(x)$, и $g(x)$ принадлежит области определения $f(y)$.
Область определения функции $g(x) = x+1$ — все действительные числа: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Область определения функции $f(y) = y^2$ — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Поскольку $g(x)$ может принимать любое действительное значение, и все эти значения входят в область определения $f(y)$, то область определения $f(g(x))$ совпадает с областью определения $g(x)$.
Таким образом, $D(f(g(x))) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Множество значений функции $z = (x+1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, минимальное значение функции достигается при $x+1=0$, то есть $x=-1$, и равно $0$. Максимального значения функция не имеет.
Следовательно, множество значений $E(f(g(x))) = [0; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = (x+1)^2$; область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

2) Даны функции $f(y) = \lg y$ и $y = g(x) = \sqrt{x-1}$.

Формула для сложной функции $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \lg(g(x)) = \lg(\sqrt{x-1})$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Область определения определяется системой неравенств, исходя из ограничений на области определения "внешней" и "внутренней" функций:
1. Для $g(x) = \sqrt{x-1}$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Для $f(y) = \lg y$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $y > 0$. В нашем случае $y = g(x) = \sqrt{x-1}$, поэтому $\sqrt{x-1} > 0$.
Объединяем условия в систему:
$$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ \sqrt{x-1} > 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства $\sqrt{x-1} > 0$ следует, что $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Это условие является более строгим и поглощает первое ($x \ge 1$).
Таким образом, область определения $D(f(g(x))) = (1; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Найдем множество значений "внутренней" функции $y = g(x) = \sqrt{x-1}$ на области определения сложной функции, то есть при $x \in (1; +\infty)$.
Если $x > 1$, то $x-1 > 0$, и $y = \sqrt{x-1} > 0$. Таким образом, множество значений $g(x)$ есть $(0; +\infty)$.
Теперь найдем множество значений "внешней" функции $z = f(y) = \lg y$ для аргумента $y \in (0; +\infty)$.
Функция десятичного логарифма на всей своей области определения $(0; +\infty)$ принимает все действительные значения.
Следовательно, множество значений $E(f(g(x))) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = \lg(\sqrt{x-1})$; область определения: $(1; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

3) Даны функции $f(y) = \frac{y+1}{y-2}$ и $y = g(x) = \log_2 x$.

Формула для сложной функции $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \frac{g(x)+1}{g(x)-2} = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Условия для области определения:
1. Аргумент логарифма в $g(x)$ должен быть положительным: $x > 0$.
2. Знаменатель в $f(g(x))$ не должен быть равен нулю: $g(x) - 2 \neq 0 \implies \log_2 x \neq 2$.
Решая $\log_2 x \neq 2$, получаем $x \neq 2^2 = 4$.
Объединяя условия, получаем область определения: $x > 0$ и $x \neq 4$.
Таким образом, $D(f(g(x))) = (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Пусть $z = f(g(x)) = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$. Обозначим $y = \log_2 x$.
Когда $x$ пробегает область определения $(0; 4) \cup (4; +\infty)$, переменная $y = \log_2 x$ пробегает все действительные значения, кроме $y = \log_2 4 = 2$. То есть $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $z = \frac{y+1}{y-2}$. Чтобы найти ее множество значений, выразим $y$ через $z$:
$z(y-2) = y+1$
$zy - 2z = y+1$
$zy - y = 2z+1$
$y(z-1) = 2z+1$
$y = \frac{2z+1}{z-1}$
Это выражение определено для всех $z$, кроме $z=1$. Это означает, что функция $z(y)$ может принимать любое значение, кроме 1.
Следовательно, множество значений $E(f(g(x))) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$; область определения: $(0; 4) \cup (4; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4) Даны функции $f(y) = \sqrt{y}$ и $y = g(x) = \frac{x+2}{x-3}$.

Формула для сложной функции $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Условия для области определения:
1. $x$ должен входить в область определения $g(x)$, т.е. знаменатель не равен нулю: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
2. Значение $g(x)$ должно входить в область определения $f(y)$, т.е. подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $g(x) = \frac{x+2}{x-3} \ge 0$.
Решим неравенство $\frac{x+2}{x-3} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-2$ и $x=3$.
Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.
- При $x \in (-\infty; -2]$, дробь $\ge 0$. (Например, при $x=-3$, $\frac{-1}{-6} > 0$. $x=-2$ включаем, т.к. неравенство нестрогое).
- При $x \in (-2; 3)$, дробь $< 0$. (Например, при $x=0$, $\frac{2}{-3} < 0$).
- При $x \in (3; +\infty)$, дробь $> 0$. (Например, при $x=4$, $\frac{6}{1} > 0$. $x=3$ исключаем, т.к. это корень знаменателя).
Следовательно, область определения $D(f(g(x))) = (-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Значение функции $z = \sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$ всегда неотрицательно: $z \ge 0$.
Найдем, какие значения принимает $y = g(x) = \frac{x+2}{x-3}$ на области определения $D(f(g(x)))$.
Преобразуем $g(x)$: $y = \frac{x-3+5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}$.
- Если $x \in (3; +\infty)$, то $x-3 \in (0; +\infty)$, $\frac{5}{x-3} \in (0; +\infty)$, и $y = 1 + \frac{5}{x-3} \in (1; +\infty)$.
- Если $x \in (-\infty; -2]$, то $x-3 \in (-\infty; -5]$, $\frac{5}{x-3} \in [-1; 0)$, и $y = 1 + \frac{5}{x-3} \in [0; 1)$.
Итак, множество значений $g(x)$ на $D(f(g(x)))$ есть $[0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь найдем множество значений $z=\sqrt{y}$ для $y \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$. Так как функция $z=\sqrt{y}$ возрастающая:
- Если $y \in [0; 1)$, то $\sqrt{y} \in [\sqrt{0}; \sqrt{1}) = [0; 1)$.
- Если $y \in (1; +\infty)$, то $\sqrt{y} \in (\sqrt{1}; \infty) = (1; +\infty)$.
Объединяя эти множества, получаем $E(f(g(x))) = [0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$; область определения: $(-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$; множество значений: $[0; 1) \cup (1; +\infty)$.

172. С помощью формулы (8) найти производную функции:

1) $(2x-1)^3$;

2) $(x+3)^2$;

3) $(3x^2-2x)^2$;

4) $(x^3-x^2)^3$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой (8) для нахождения производной степенной функции, где основание степени также является функцией от $x$. Эта формула является частным случаем цепного правила дифференцирования:

$(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$

где $u = u(x)$ — дифференцируемая функция, а $n$ — постоянное число.

1) Найти производную функции $(2x - 1)^3$.

Пусть $y = (2x - 1)^3$. В данном случае $u(x) = 2x - 1$ и $n = 3$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (2x - 1)' = 2$

Теперь применим формулу производной степенной функции:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (2x - 1)^{3-1} \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$.

Ответ: $6(2x - 1)^2$.

2) Найти производную функции $(x + 3)^2$.

Пусть $y = (x + 3)^2$. Здесь $u(x) = x + 3$ и $n = 2$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x + 3)' = 1$

Применим формулу:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (x + 3)^{2-1} \cdot 1 = 2(x + 3) = 2x + 6$.

Ответ: $2x + 6$.

3) Найти производную функции $(3x^2 - 2x)^2$.

Пусть $y = (3x^2 - 2x)^2$. Здесь $u(x) = 3x^2 - 2x$ и $n = 2$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (3x^2 - 2x)' = 3 \cdot 2x - 2 = 6x - 2$

Применим формулу:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (3x^2 - 2x)^{2-1} \cdot (6x - 2) = 2(3x^2 - 2x)(6x - 2)$.

Можно упростить выражение, раскрыв скобки:

$y' = (6x^2 - 4x)(6x - 2) = 36x^3 - 12x^2 - 24x^2 + 8x = 36x^3 - 36x^2 + 8x$.

Ответ: $36x^3 - 36x^2 + 8x$.

4) Найти производную функции $(x^3 - x^2)^3$.

Пусть $y = (x^3 - x^2)^3$. Здесь $u(x) = x^3 - x^2$ и $n = 3$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x$

Применим формулу:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (x^3 - x^2)^{3-1} \cdot (3x^2 - 2x) = 3(x^3 - x^2)^2(3x^2 - 2x)$.

Выражение можно также упростить, вынеся общие множители:

$y' = 3(x^2(x-1))^2(x(3x-2)) = 3x^4(x-1)^2 \cdot x(3x-2) = 3x^5(x-1)^2(3x-2)$.

Ответ: $3(x^3 - x^2)^2(3x^2 - 2x)$.

173. Выяснить, при каких значениях $x$ производная функции $f(x)$ принимает отрицательные значения, если:

1) $f(x) = x^2 - 7x + 10;$

2) $f(x) = -x^2 + 4x;$

3) $f(x) = -3x^3 + 3x^2 + 4;$

4) $f(x) = (1 - 3x)^3.$

1) Для функции $f(x) = x^2 - 7x + 10$.

Сначала найдем ее производную:

$f'(x) = (x^2 - 7x + 10)' = 2x - 7$.

Теперь необходимо найти значения $x$, при которых производная принимает отрицательные значения, то есть решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 7 < 0$

$2x < 7$

$x < \frac{7}{2}$

$x < 3,5$

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (-\infty; 3,5)$.

Ответ: $(-\infty; 3,5)$.

2) Для функции $f(x) = -x^2 + 4x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$-2x + 4 < 0$

$-2x < -4$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-4}{-2}$

$x > 2$

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = -3x^3 + 3x^2 + 4$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x^3 + 3x^2 + 4)' = -3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 0 = -9x^2 + 6x$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$-9x^2 + 6x < 0$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:

$3x^2 - 2x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x - 2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(3x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > \frac{2}{3}$.

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = (1 - 3x)^3$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = ((1 - 3x)^3)' = 3(1 - 3x)^{3-1} \cdot (1 - 3x)' = 3(1 - 3x)^2 \cdot (-3) = -9(1 - 3x)^2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$-9(1 - 3x)^2 < 0$

Разделим обе части на -9, изменив знак неравенства:

$(1 - 3x)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(1 - 3x)^2$ равно нулю только в одном случае:

$1 - 3x = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Следовательно, неравенство $(1 - 3x)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

174. Выяснить, при каких значениях $x$ производная функции $f(x)$ принимает положительные значения, если:

1) $f(x) = (x + 2)^2 x^3$;

2) $f(x) = (x - 3)3x^2$.

1) Дана функция $f(x) = (x + 2)^2 x^3$.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ положительна, то есть $f'(x) > 0$.

Сначала найдем производную функции. Воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x+2)^2$ и $v(x) = x^3$.

Найдем их производные:

$u'(x) = ((x+2)^2)' = 2(x+2) \cdot (x+2)' = 2(x+2) \cdot 1 = 2(x+2)$.

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = u'v + uv' = 2(x+2) \cdot x^3 + (x+2)^2 \cdot 3x^2$.

Упростим полученное выражение. Вынесем за скобки общие множители $x^2$ и $(x+2)$:

$f'(x) = x^2(x+2)[2x + 3(x+2)]$

$f'(x) = x^2(x+2)(2x + 3x + 6)$

$f'(x) = x^2(x+2)(5x+6)$

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x^2(x+2)(5x+6) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни выражения $x^2(x+2)(5x+6)$, приравняв его к нулю:

$x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (корень кратности 2)

$x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

$5x+6 = 0 \Rightarrow x_3 = -6/5 = -1.2$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной в каждом интервале.

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Для выполнения строгого неравенства $x$ не должен быть равен нулю ($x \ne 0$). При $x \ne 0$ множитель $x^2$ всегда положителен и не влияет на знак неравенства. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$(x+2)(5x+6) > 0$ при условии $x \ne 0$.

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y=(x+2)(5x+6)$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше 0). Значения функции положительны вне интервала между корнями $x = -2$ и $x = -1.2$.

Следовательно, решение неравенства $(x+2)(5x+6) > 0$ есть $x \in (-\infty; -2) \cup (-1.2; +\infty)$.

Теперь учтем дополнительное условие $x \ne 0$. Точка $x=0$ попадает в интервал $(-1.2; +\infty)$, поэтому этот интервал нужно разбить на два: $(-1.2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем, что производная положительна при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1.2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1.2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = (x-3)3x^2$.

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = 3x^2 \cdot x - 3x^2 \cdot 3 = 3x^3 - 9x^2$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^3 - 9x^2)' = (3x^3)' - (9x^2)' = 3 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x = 9x^2 - 18x$.

Далее решим неравенство $f'(x) > 0$:

$9x^2 - 18x > 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x-2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$9x(x-2) = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Графиком функции $y=9x(x-2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения за пределами интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

Запишем решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

175. Выяснить, при каких значениях x производная функции f(x) принимает отрицательные значения, если:

1) $f(x) = \frac{3x^2-1}{1-2x}$;

2) $f(x) = \frac{3x^3}{1-3x}$.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{3x^2 - 1}{1 - 2x}$.

Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ производная функции принимает отрицательные значения, необходимо найти производную $f'(x)$ и решить неравенство $f'(x) < 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3x^2 - 1$ и $v(x) = 1 - 2x$. Тогда их производные равны $u'(x) = 6x$ и $v'(x) = -2$.

Подставим эти значения в формулу:

$f'(x) = \frac{(3x^2 - 1)'(1 - 2x) - (3x^2 - 1)(1 - 2x)'}{(1 - 2x)^2} = \frac{6x(1 - 2x) - (3x^2 - 1)(-2)}{(1 - 2x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{6x - 12x^2 - (-6x^2 + 2)}{(1 - 2x)^2} = \frac{6x - 12x^2 + 6x^2 - 2}{(1 - 2x)^2} = \frac{-6x^2 + 6x - 2}{(1 - 2x)^2}$

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$\frac{-6x^2 + 6x - 2}{(1 - 2x)^2} < 0$

Знаменатель $(1 - 2x)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения функции, то есть при $x \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, знак всей дроби определяется знаком числителя.

$-6x^2 + 6x - 2 < 0$

Для удобства разделим обе части неравенства на $-2$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 3x + 1 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 3x + 1$. Найдем ее дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для определения корней.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, парабола $y = 3x^2 - 3x + 1$ не имеет пересечений с осью $x$ и ее ветви направлены вверх. Это означает, что выражение $3x^2 - 3x + 1$ положительно при всех действительных значениях $x$.

Следовательно, исходное неравенство для числителя $-6x^2 + 6x - 2 < 0$ также верно для всех действительных $x$.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всей своей области определения, которая исключает только точку, где знаменатель равен нулю, то есть $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{3x^3}{1 - 3x}$.

Аналогично первому пункту, найдем производную $f'(x)$ и решим неравенство $f'(x) < 0$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 3x^3$ и $v(x) = 1 - 3x$. Тогда $u'(x) = 9x^2$ и $v'(x) = -3$.

$f'(x) = \frac{(3x^3)'(1 - 3x) - (3x^3)(1 - 3x)'}{(1 - 3x)^2} = \frac{9x^2(1 - 3x) - 3x^3(-3)}{(1 - 3x)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{9x^2 - 27x^3 + 9x^3}{(1 - 3x)^2} = \frac{9x^2 - 18x^3}{(1 - 3x)^2}$

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$\frac{9x^2 - 18x^3}{(1 - 3x)^2} < 0$

Знаменатель $(1 - 3x)^2$ положителен при всех $x$ из области определения ($x \neq \frac{1}{3}$). Значит, знак дроби зависит от знака числителя.

$9x^2 - 18x^3 < 0$

Вынесем общий множитель $9x^2$ за скобки:

$9x^2(1 - 2x) < 0$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x = 0$, то левая часть неравенства равна $0$. Неравенство $0 < 0$ является ложным, значит $x = 0$ не является решением.

2. Если $x \neq 0$, то множитель $9x^2$ строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $9x^2$, не меняя знака:

$1 - 2x < 0$

$1 < 2x$

$x > \frac{1}{2}$

Полученный интервал $x > \frac{1}{2}$ не содержит точку $x = \frac{1}{3}$, которая не входит в область определения функции, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

176. Записать формулой функцию $f(g(x))$ и найти её производную, если:

1) $f(y)=\sqrt{y^2-1}, y=g(x)=\sqrt{x^2+1};$

2) $f(y)=\sqrt{1-y^2}, y=g(x)=\cos x.$

1) Даны функции $f(y) = \sqrt{y^2 - 1}$ и $y = g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.
Сначала найдём формулу для сложной функции $f(g(x))$, подставив выражение для $g(x)$ в функцию $f(y)$ вместо $y$:
$f(g(x)) = \sqrt{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - 1} = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, $f(g(x)) = |x|$.
Теперь найдём производную этой функции. Функция $h(x)=|x|$ определяется как:$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Производная этой функции:$h'(x) = (|x|)' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
В точке $x=0$ производная не существует. Производную можно также записать в виде $\frac{x}{|x|}$ или $\text{sgn}(x)$ для $x \neq 0$.
Ответ: $f(g(x)) = |x|$, производная $(f(g(x)))' = \frac{x}{|x|}$ при $x \neq 0$.

2) Даны функции $f(y) = \sqrt{1 - y^2}$ и $y = g(x) = \cos x$.
Найдём формулу для сложной функции $f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(y)$:
$f(g(x)) = \sqrt{1 - (\cos x)^2} = \sqrt{1 - \cos^2 x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$f(g(x)) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$.
Теперь найдём производную функции $h(x) = |\sin x|$. Эта функция дифференцируема во всех точках, где $\sin x \neq 0$, то есть при $x \neq k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Найдём производные $f'(y)$ и $g'(x)$:
$f'(y) = (\sqrt{1-y^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-y^2}} \cdot (-2y) = -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$.
$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставим их в формулу цепного правила:
$(f(g(x)))' = f'(\cos x) \cdot (-\sin x) = \left(-\frac{\cos x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}\right) \cdot (-\sin x) = \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} \cdot \sin x = \frac{\cos x \sin x}{|\sin x|}$.
Эта производная существует при $\sin x \neq 0$.
Ответ: $f(g(x)) = |\sin x|$, производная $(f(g(x)))' = \frac{\cos x \sin x}{|\sin x|}$ при $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

177. Найти производную функции g(x), обратной к функции f(x), если:

1) $f(x) = \frac{2x+3}{x-2}$;

2) $f(x) = x^2$, $x > 0$.

1) $f(x) = \frac{2x+3}{x-2}$

Чтобы найти производную функции $g(x)$, обратной к функции $f(x)$, сначала найдем саму функцию $g(x)$. Для этого в уравнении $y = f(x)$ выразим $x$ через $y$.

Пусть $y = \frac{2x+3}{x-2}$.

Умножим обе части на $(x-2)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$y(x-2) = 2x+3$

Раскроем скобки:

$yx - 2y = 2x+3$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$yx - 2x = 2y+3$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y-2) = 2y+3$

Разделим на $(y-2)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{2y+3}{y-2}$

Мы нашли выражение для обратной функции: $x = g(y) = \frac{2y+3}{y-2}$. Для записи функции $g(x)$ в привычном виде заменим переменную $y$ на $x$:

$g(x) = \frac{2x+3}{x-2}$

Теперь, когда у нас есть явный вид функции $g(x)$, найдем ее производную $g'(x)$. Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 2x+3$ и $v = x-2$. Их производные: $u' = 2$, $v' = 1$.

$g'(x) = \left(\frac{2x+3}{x-2}\right)' = \frac{(2x+3)'(x-2) - (2x+3)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2(x-2) - (2x+3) \cdot 1}{(x-2)^2}$

Упростим числитель:

$g'(x) = \frac{2x - 4 - 2x - 3}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}$

Ответ: $g'(x) = -\frac{7}{(x-2)^2}$

2) $f(x) = x^2, x > 0$

Сначала найдем функцию $g(x)$, обратную к $f(x)$. Пусть $y = f(x)$, тогда $y = x^2$.

Выразим $x$ через $y$:

$x^2 = y$

$x = \pm\sqrt{y}$

Согласно условию, область определения исходной функции $f(x)$ — это $x > 0$. Это означает, что область значений обратной функции $g(x)$ также должна быть положительной. Поэтому мы должны выбрать положительное значение корня:

$x = \sqrt{y}$

Таким образом, обратная функция $g(y) = \sqrt{y}$. Заменив $y$ на $x$, получаем:

$g(x) = \sqrt{x}$

Теперь найдем производную функции $g(x)$. Представим корень в виде степени:

$g(x) = x^{1/2}$

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Запишем результат в более привычном виде:

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

178. Найти производную функции:

1) $f(x)=(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^2$;

2) $f(x)=(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^3$.

1) Дана функция $f(x) = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^2$.

Это сложная функция вида $y = g(h(x))$, где внешняя функция $g(u) = u^2$ и внутренняя функция $h(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1$.

Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В виде степенной функции это правило выглядит так: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

В нашем случае $u = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1$ и $n = 2$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)' = (3x^3)' - (4x^2)' + (2x)' - (1)'$

Используя правило производной степенной функции $(x^k)'=kx^{k-1}$, получаем:

$u'(x) = 3 \cdot 3x^{3-1} - 4 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 9x^2 - 8x + 2$.

Теперь подставляем $u$, $u'$ и $n$ в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^{2-1} \cdot (9x^2 - 8x + 2)$.

Упрощая выражение, получаем:

$f'(x) = 2(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(9x^2 - 8x + 2)$.

Ответ: $f'(x) = 2(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(9x^2 - 8x + 2)$.

2) Дана функция $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^3$.

Эта функция также является сложной, поэтому для нахождения ее производной применим то же цепное правило: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь внутренняя функция $u = x^3 - 2x^2 + 3x + 2$ и показатель степени $n = 3$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3x)' + (2)'$

$u'(x) = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 3x^2 - 4x + 3$.

Теперь подставим полученные значения в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^{3-1} \cdot (3x^2 - 4x + 3)$.

Упрощая, получаем окончательный вид производной:

$f'(x) = 3(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^2(3x^2 - 4x + 3)$.

Ответ: $f'(x) = 3(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^2(3x^2 - 4x + 3)$.