Номер 174, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 174, страница 80.

Условие.

174. Выяснить, при каких значениях $x$ производная функции $f(x)$ принимает положительные значения, если:

1) $f(x) = (x + 2)^2 x^3$;

2) $f(x) = (x - 3)3x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = (x + 2)^2 x^3$.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ положительна, то есть $f'(x) > 0$.

Сначала найдем производную функции. Воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x+2)^2$ и $v(x) = x^3$.

Найдем их производные:

$u'(x) = ((x+2)^2)' = 2(x+2) \cdot (x+2)' = 2(x+2) \cdot 1 = 2(x+2)$.

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = u'v + uv' = 2(x+2) \cdot x^3 + (x+2)^2 \cdot 3x^2$.

Упростим полученное выражение. Вынесем за скобки общие множители $x^2$ и $(x+2)$:

$f'(x) = x^2(x+2)[2x + 3(x+2)]$

$f'(x) = x^2(x+2)(2x + 3x + 6)$

$f'(x) = x^2(x+2)(5x+6)$

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x^2(x+2)(5x+6) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни выражения $x^2(x+2)(5x+6)$, приравняв его к нулю:

$x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (корень кратности 2)

$x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

$5x+6 = 0 \Rightarrow x_3 = -6/5 = -1.2$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной в каждом интервале.

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Для выполнения строгого неравенства $x$ не должен быть равен нулю ($x \ne 0$). При $x \ne 0$ множитель $x^2$ всегда положителен и не влияет на знак неравенства. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$(x+2)(5x+6) > 0$ при условии $x \ne 0$.

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y=(x+2)(5x+6)$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше 0). Значения функции положительны вне интервала между корнями $x = -2$ и $x = -1.2$.

Следовательно, решение неравенства $(x+2)(5x+6) > 0$ есть $x \in (-\infty; -2) \cup (-1.2; +\infty)$.

Теперь учтем дополнительное условие $x \ne 0$. Точка $x=0$ попадает в интервал $(-1.2; +\infty)$, поэтому этот интервал нужно разбить на два: $(-1.2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем, что производная положительна при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1.2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1.2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = (x-3)3x^2$.

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = 3x^2 \cdot x - 3x^2 \cdot 3 = 3x^3 - 9x^2$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^3 - 9x^2)' = (3x^3)' - (9x^2)' = 3 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x = 9x^2 - 18x$.

Далее решим неравенство $f'(x) > 0$:

$9x^2 - 18x > 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x-2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$9x(x-2) = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Графиком функции $y=9x(x-2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения за пределами интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

Запишем решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.