Номер 172, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 172, страница 80.

Условие.

172. С помощью формулы (8) найти производную функции:

1) $(2x-1)^3$;

2) $(x+3)^2$;

3) $(3x^2-2x)^2$;

4) $(x^3-x^2)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой (8) для нахождения производной степенной функции, где основание степени также является функцией от $x$. Эта формула является частным случаем цепного правила дифференцирования:

$(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$

где $u = u(x)$ — дифференцируемая функция, а $n$ — постоянное число.

1) Найти производную функции $(2x - 1)^3$.

Пусть $y = (2x - 1)^3$. В данном случае $u(x) = 2x - 1$ и $n = 3$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (2x - 1)' = 2$

Теперь применим формулу производной степенной функции:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (2x - 1)^{3-1} \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$.

Ответ: $6(2x - 1)^2$.

2) Найти производную функции $(x + 3)^2$.

Пусть $y = (x + 3)^2$. Здесь $u(x) = x + 3$ и $n = 2$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x + 3)' = 1$

Применим формулу:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (x + 3)^{2-1} \cdot 1 = 2(x + 3) = 2x + 6$.

Ответ: $2x + 6$.

3) Найти производную функции $(3x^2 - 2x)^2$.

Пусть $y = (3x^2 - 2x)^2$. Здесь $u(x) = 3x^2 - 2x$ и $n = 2$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (3x^2 - 2x)' = 3 \cdot 2x - 2 = 6x - 2$

Применим формулу:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (3x^2 - 2x)^{2-1} \cdot (6x - 2) = 2(3x^2 - 2x)(6x - 2)$.

Можно упростить выражение, раскрыв скобки:

$y' = (6x^2 - 4x)(6x - 2) = 36x^3 - 12x^2 - 24x^2 + 8x = 36x^3 - 36x^2 + 8x$.

Ответ: $36x^3 - 36x^2 + 8x$.

4) Найти производную функции $(x^3 - x^2)^3$.

Пусть $y = (x^3 - x^2)^3$. Здесь $u(x) = x^3 - x^2$ и $n = 3$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x$

Применим формулу:

$y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (x^3 - x^2)^{3-1} \cdot (3x^2 - 2x) = 3(x^3 - x^2)^2(3x^2 - 2x)$.

Выражение можно также упростить, вынеся общие множители:

$y' = 3(x^2(x-1))^2(x(3x-2)) = 3x^4(x-1)^2 \cdot x(3x-2) = 3x^5(x-1)^2(3x-2)$.

Ответ: $3(x^3 - x^2)^2(3x^2 - 2x)$.