Страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

163. Найти производную функции:

1) $x^2 + x$;

2) $x^2 - x$;

3) $8x^2$;

4) $-27x^2$;

5) $-4x^3$;

6) $0,6x^3$;

7) $13x^2 + 26$;

8) $8x^2 - 16.

1) Для нахождения производной функции $y = x^2 + x$ воспользуемся правилами дифференцирования.
Используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
Используем правило для степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)'$
Производная от $x^2$ равна $2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Производная от $x$ (что то же самое, что $x^1$) равна $1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.
Складываем результаты: $y' = 2x + 1$.
Ответ: $2x + 1$

2) Для функции $y = x^2 - x$ используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (x^2 - x)' = (x^2)' - (x)'$
Как и в предыдущем пункте, $(x^2)' = 2x$ и $(x)' = 1$.
Вычитаем результаты: $y' = 2x - 1$.
Ответ: $2x - 1$

3) Для функции $y = 8x^2$ используем правило вынесения константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
$y' = (8x^2)' = 8 \cdot (x^2)'$
Мы знаем, что $(x^2)' = 2x$.
Умножаем константу на производную: $y' = 8 \cdot (2x) = 16x$.
Ответ: $16x$

4) Для функции $y = -27x^2$ действуем аналогично предыдущему пункту.
$y' = (-27x^2)' = -27 \cdot (x^2)'$
Подставляем производную от $x^2$: $y' = -27 \cdot (2x) = -54x$.
Ответ: $-54x$

5) Для функции $y = -4x^3$ применяем те же правила.
Сначала находим производную степенной функции: $(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.
Теперь находим производную всей функции:
$y' = (-4x^3)' = -4 \cdot (x^3)' = -4 \cdot (3x^2) = -12x^2$.
Ответ: $-12x^2$

6) Для функции $y = 0,6x^3$ находим производную аналогично.
$y' = (0,6x^3)' = 0,6 \cdot (x^3)'$
Производная от $x^3$ равна $3x^2$.
Подставляем и вычисляем: $y' = 0,6 \cdot (3x^2) = 1,8x^2$.
Ответ: $1,8x^2$

7) Для функции $y = 13x^2 + 26$ используем правило дифференцирования суммы и правило производной константы $(c)'=0$.
$y' = (13x^2 + 26)' = (13x^2)' + (26)'$
Производная первого слагаемого: $(13x^2)' = 13 \cdot (x^2)' = 13 \cdot (2x) = 26x$.
Производная второго слагаемого (константы): $(26)' = 0$.
Складываем результаты: $y' = 26x + 0 = 26x$.
Ответ: $26x$

8) Для функции $y = 8x^2 - 16$ используем правило дифференцирования разности и правило производной константы.
$y' = (8x^2 - 16)' = (8x^2)' - (16)'$
Производная первого слагаемого: $(8x^2)' = 8 \cdot (x^2)' = 8 \cdot (2x) = 16x$.
Производная второго слагаемого (константы): $(16)' = 0$.
Вычитаем результаты: $y' = 16x - 0 = 16x$.
Ответ: $16x$

164. Продифференцировать функцию:

1) $3x^2 - 6x + 6;$

2) $6x^2 + 5x - 7;$

3) $x + 12x^2;$

4) $x - 8x^2;$

5) $x^3 + 6x;$

6) $-12x^3 + 18x;$

7) $2x^3 - 8x^2 + 6x + 1;$

8) $-3x^3 + 2x^2 - x - 5.$

Для нахождения производной функции будем использовать следующие основные правила и формулы дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
• Производная константы: $(C)' = 0$
• Производная суммы/разности функций: $(u(x) \pm v(x))' = u'(x) \pm v'(x)$
• Вынесение константы за знак производной: $(C \cdot u(x))' = C \cdot u'(x)$

1) Дана функция $y = 3x^2 - 6x + 6$.

Найдем ее производную, применив правила дифференцирования для каждого слагаемого:

$y' = (3x^2 - 6x + 6)' = (3x^2)' - (6x)' + (6)'$

Используя правило для степенной функции и вынесение константы, получаем:

$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

$(6x)' = 6 \cdot (x^1)' = 6 \cdot 1x^{1-1} = 6 \cdot 1 = 6$

$(6)' = 0$ (производная константы)

Соберем все вместе: $y' = 6x - 6 + 0 = 6x - 6$.

Ответ: $6x - 6$

2) Дана функция $y = 6x^2 + 5x - 7$.

Ее производная: $y' = (6x^2 + 5x - 7)' = (6x^2)' + (5x)' - (7)'$.

$(6x^2)' = 6 \cdot 2x = 12x$

$(5x)' = 5 \cdot 1 = 5$

$(7)' = 0$

Следовательно, $y' = 12x + 5 - 0 = 12x + 5$.

Ответ: $12x + 5$

3) Дана функция $y = x + 12x^2$.

Ее производная: $y' = (x + 12x^2)' = (x)' + (12x^2)'$.

$(x)' = 1$

$(12x^2)' = 12 \cdot 2x = 24x$

Следовательно, $y' = 1 + 24x$.

Ответ: $1 + 24x$

4) Дана функция $y = x - 8x^2$.

Ее производная: $y' = (x - 8x^2)' = (x)' - (8x^2)'$.

$(x)' = 1$

$(8x^2)' = 8 \cdot 2x = 16x$

Следовательно, $y' = 1 - 16x$.

Ответ: $1 - 16x$

5) Дана функция $y = x^3 + 6x$.

Ее производная: $y' = (x^3 + 6x)' = (x^3)' + (6x)'$.

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

$(6x)' = 6 \cdot 1 = 6$

Следовательно, $y' = 3x^2 + 6$.

Ответ: $3x^2 + 6$

6) Дана функция $y = -12x^3 + 18x$.

Ее производная: $y' = (-12x^3 + 18x)' = (-12x^3)' + (18x)'$.

$(-12x^3)' = -12 \cdot 3x^2 = -36x^2$

$(18x)' = 18 \cdot 1 = 18$

Следовательно, $y' = -36x^2 + 18$.

Ответ: $-36x^2 + 18$

7) Дана функция $y = 2x^3 - 8x^2 + 6x + 1$.

Ее производная: $y' = (2x^3 - 8x^2 + 6x + 1)' = (2x^3)' - (8x^2)' + (6x)' + (1)'$.

$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$

$(8x^2)' = 8 \cdot 2x = 16x$

$(6x)' = 6 \cdot 1 = 6$

$(1)' = 0$

Следовательно, $y' = 6x^2 - 16x + 6 + 0 = 6x^2 - 16x + 6$.

Ответ: $6x^2 - 16x + 6$

8) Дана функция $y = -3x^3 + 2x^2 - x - 5$.

Ее производная: $y' = (-3x^3 + 2x^2 - x - 5)' = (-3x^3)' + (2x^2)' - (x)' - (5)'$.

$(-3x^3)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$

$(2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$

$(x)' = 1$

$(5)' = 0$

Следовательно, $y' = -9x^2 + 4x - 1 - 0 = -9x^2 + 4x - 1$.

Ответ: $-9x^2 + 4x - 1$

165. Найти $f'(0)$ и $f'(2)$, если:

1) $f(x) = x^2 - 2x + 1;$

2) $f(x) = x^3 - 2x;$

3) $f(x) = -x^3 + 2x^2;$

4) $f(x) = 3x^2 + x + 1.$

Для решения задачи необходимо для каждой функции сначала найти ее производную $f'(x)$, а затем подставить в полученное выражение значения $x=0$ и $x=2$.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 2x + 1$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правила дифференцирования суммы и константы.

$f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = (x^2)' - (2x)' + (1)' = 2x^{2-1} - 2x^{1-1} + 0 = 2x - 2$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.

При $x=2$:

$f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $f'(0) = -2$, $f'(2) = 2$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 2x)' = (x^3)' - (2x)' = 3x^{3-1} - 2x^{1-1} = 3x^2 - 2$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x=2$:

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.

Ответ: $f'(0) = -2$, $f'(2) = 10$.

3) Дана функция $f(x) = -x^3 + 2x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-x^3 + 2x^2)' = (-x^3)' + (2x^2)' = -3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} = -3x^2 + 4x$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = -3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.

При $x=2$:

$f'(2) = -3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = -3 \cdot 4 + 8 = -12 + 8 = -4$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(2) = -4$.

4) Дана функция $f(x) = 3x^2 + x + 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 + x + 1)' = (3x^2)' + (x)' + (1)' = 3 \cdot 2x^{2-1} + 1x^{1-1} + 0 = 6x + 1$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 6 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.

При $x=2$:

$f'(2) = 6 \cdot 2 + 1 = 12 + 1 = 13$.

Ответ: $f'(0) = 1$, $f'(2) = 13$.

166. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0 (решить уравнение $f'(x) = 0$), если:

1) $f(x) = x^3 - 2x$;

2) $f(x) = -x^2 + 3x + 1$;

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3$;

4) $f(x) = (x - 3)(x + 4)$;

5) $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$;

6) $f(x) = (x + 1)^3$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.
Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^3 - 2x)' = (x^3)' - (2x)' = 3x^{3-1} - 2x^{1-1} = 3x^2 - 2$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 2 = 0$
$3x^2 = 2$
$x^2 = \frac{2}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$x = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 + 3x + 1$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (-x^2 + 3x + 1)' = -2x + 3$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x + 3 = 0$
$-2x = -3$
$x = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $x = 1.5$.

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 3)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 12 = 6x^2 + 6x - 12$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$6x^2 + 6x - 12 = 0$.
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить его:
$x^2 + x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

4) Дана функция $f(x) = (x - 3)(x + 4)$.
Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки:
$f(x) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$.
Теперь найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + x - 12)' = 2x + 1$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Ответ: $x = -0.5$.

5) Дана функция $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$.
Для нахождения производной используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = (x-2)^2$ и $v = x+1$.
Найдем производные $u'$ и $v'$: $u' = ((x-2)^2)' = 2(x-2)^{2-1} \cdot (x-2)' = 2(x-2) \cdot 1 = 2x - 4$.
$v' = (x+1)' = 1$.
Подставим в формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = (2x - 4)(x + 1) + (x - 2)^2 \cdot 1$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f'(x) = (2x^2 + 2x - 4x - 4) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 2x - 4 + x^2 - 4x + 4 = 3x^2 - 6x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x = 0$.
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

6) Дана функция $f(x) = (x + 1)^3$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$:
$f'(x) = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3(x+1)^2 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
$x+1 = 0$
$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

167. Найти производную функции:

1) $(x - 3)^2x^3$;

2) $(x^2 - 2x)(x^3 + x)$;

3) $(x + 3)x^3$;

4) $(x - 4)3x^2$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x-3)^2 x^3$ сначала упростим ее. Для этого раскроем скобки.
Сначала возведем в квадрат двучлен $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Теперь умножим полученный многочлен на $x^3$:
$y = (x^2 - 6x + 9)x^3 = x^2 \cdot x^3 - 6x \cdot x^3 + 9 \cdot x^3 = x^5 - 6x^4 + 9x^3$.
Теперь, когда функция представлена в виде многочлена, найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и свойство линейности производной:
$y' = (x^5 - 6x^4 + 9x^3)' = (x^5)' - (6x^4)' + (9x^3)' = 5x^{5-1} - 6 \cdot 4x^{4-1} + 9 \cdot 3x^{3-1} = 5x^4 - 24x^3 + 27x^2$.
Ответ: $5x^4 - 24x^3 + 27x^2$.

2) Для функции $y = (x^2 - 2x)(x^3 + x)$ также сначала упростим выражение, перемножив многочлены:
$y = x^2(x^3 + x) - 2x(x^3 + x) = (x^5 + x^3) - (2x^4 + 2x^2) = x^5 - 2x^4 + x^3 - 2x^2$.
Теперь найдем производную полученного многочлена:
$y' = (x^5 - 2x^4 + x^3 - 2x^2)' = (x^5)' - (2x^4)' + (x^3)' - (2x^2)' = 5x^{4} - 2 \cdot 4x^{3} + 3x^{2} - 2 \cdot 2x^{1}$.
$y' = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x$.
Ответ: $5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x$.

3) Для функции $y = (x + 3)x^3$ сначала раскроем скобки:
$y = x \cdot x^3 + 3 \cdot x^3 = x^4 + 3x^3$.
Найдем производную полученного многочлена:
$y' = (x^4 + 3x^3)' = (x^4)' + (3x^3)' = 4x^{3} + 3 \cdot 3x^{2} = 4x^3 + 9x^2$.
Ответ: $4x^3 + 9x^2$.

4) Для функции $y = (x - 4)3x^2$ сначала упростим выражение:
$y = 3x^2(x - 4) = 3x^2 \cdot x - 3x^2 \cdot 4 = 3x^3 - 12x^2$.
Найдем производную полученного многочлена:
$y' = (3x^3 - 12x^2)' = (3x^3)' - (12x^2)' = 3 \cdot 3x^{2} - 12 \cdot 2x^{1} = 9x^2 - 24x$.
Ответ: $9x^2 - 24x$.

Найти $f'(1)$ (168–169).

168. 1) $f(x) = (2x-3)^2(x-1)$;

2) $f(x) = (x+1)^3(x+2).

1) Дана функция $f(x) = (2x - 3)^2(x - 1)$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (2x - 3)^2$ и $v(x) = (x - 1)$.

Найдём производную $u'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = ((2x - 3)^2)' = 2 \cdot (2x - 3)^{2-1} \cdot (2x - 3)' = 2(2x - 3) \cdot 2 = 4(2x - 3)$.

Найдём производную $v'(x)$: $v'(x) = (x - 1)' = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 4(2x - 3)(x - 1) + (2x - 3)^2 \cdot 1$.

Найдём значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 4(2 \cdot 1 - 3)(1 - 1) + (2 \cdot 1 - 3)^2 = 4(-1)(0) + (-1)^2 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = (x + 1)^3(x + 2)$.

Для нахождения производной $f'(x)$ также воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x + 1)^3$ и $v(x) = (x + 2)$.

Найдём производную $u'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = ((x + 1)^3)' = 3 \cdot (x + 1)^{3-1} \cdot (x + 1)' = 3(x + 1)^2 \cdot 1 = 3(x + 1)^2$.

Найдём производную $v'(x)$: $v'(x) = (x + 2)' = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3(x + 1)^2(x + 2) + (x + 1)^3 \cdot 1$.

Найдём значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 3(1 + 1)^2(1 + 2) + (1 + 1)^3 = 3 \cdot (2)^2 \cdot 3 + (2)^3 = 3 \cdot 4 \cdot 3 + 8 = 36 + 8 = 44$.

Ответ: 44

169. 1) $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$,

2) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$,

3) $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$,

4) $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$.

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (правилом частного): $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$.

Сначала найдем производные числителя $u(x)$ и знаменателя $v(x)$:

$u'(x) = (2x - 1)' = 2$

$v'(x) = (2x + 1)' = 2$

Теперь подставим эти производные в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2 \cdot (2x + 1) - (2x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{4x + 2 - (4x - 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{(2x + 1)^2}$

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ применим то же правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Подставим найденные значения в формулу:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

Найдем производную функции $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$, используя правило частного.

Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 5 - 4x$.

Вычислим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (2x - 3)' = 2$

$v'(x) = (5 - 4x)' = -4$

Подставим найденные производные в формулу частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2(5 - 4x) - (2x - 3)(-4)}{(5 - 4x)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{10 - 8x - (-8x + 12)}{(5 - 4x)^2} = \frac{10 - 8x + 8x - 12}{(5 - 4x)^2} = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного.

Обозначим $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1 - 7x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2x^2)' = 4x$

$v'(x) = (1 - 7x)' = -7$

Применим формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{4x(1 - 7x) - 2x^2(-7)}{(1 - 7x)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$

170. Найти производную функции:

1) $ \frac{x^3 + x^2 + x}{x+1}; $

2) $ \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x-1}. $

1) Найдем производную функции $y = \frac{x^3 + x^2 + x}{x+1}$.
Для начала, упростим исходную функцию. Выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю:
$x^3 + x^2 + x = (x^3 + x^2) + x = x^2(x+1) + x$.
Теперь разделим числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{x^2(x+1) + x}{x+1} = \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{x}{x+1} = x^2 + \frac{x}{x+1}$.
Теперь находить производную проще, используя правило суммы производных $(u+v)' = u' + v'$:
$y' = (x^2)' + (\frac{x}{x+1})'$.
Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2x$.
Для нахождения производной второго слагаемого воспользуемся правилом производной частного $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:
$(\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
Складывая полученные результаты, получаем итоговую производную:
$y' = 2x + \frac{1}{(x+1)^2}$.
Ответ: $2x + \frac{1}{(x+1)^2}$.

2) Найдем производную функции $y = \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x-1}$.
В данном случае упрощение функции не очевидно, поэтому применим правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1$ и $v(x) = x-1$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (2x^3 + 3x^2 + 1)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 + 6x$.
$v'(x) = (x-1)' = 1$.
Теперь подставим эти выражения в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(6x^2+6x)(x-1) - (2x^3+3x^2+1) \cdot 1}{(x-1)^2}$.
Упростим выражение в числителе. Сначала раскроем скобки:
$(6x^2+6x)(x-1) = 6x^3 - 6x^2 + 6x^2 - 6x = 6x^3 - 6x$.
Теперь выполним вычитание в числителе:
$(6x^3 - 6x) - (2x^3+3x^2+1) = 6x^3 - 6x - 2x^3 - 3x^2 - 1 = 4x^3 - 3x^2 - 6x - 1$.
Таким образом, производная функции равна:
$y' = \frac{4x^3 - 3x^2 - 6x - 1}{(x-1)^2}$.
Ответ: $\frac{4x^3 - 3x^2 - 6x - 1}{(x-1)^2}$.