Номер 184, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Производная степенной функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 184, страница 83.
№184 (с. 83)
Условие. №184 (с. 83)
скриншот условия

184. При каких значениях $x$ значение производной функции $y=(x-3)^5(2+5x)^6$ равно 0?
Решение 1. №184 (с. 83)

Решение 2. №184 (с. 83)

Решение 3. №184 (с. 83)
Для того чтобы найти значения x, при которых производная функции $y = (x - 3)^5 (2 + 5x)^6$ равна нулю, необходимо сначала найти эту производную, а затем приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.
Функция $y(x)$ представляет собой произведение двух функций: $u(x) = (x - 3)^5$ и $v(x) = (2 + 5x)^6$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$ по отдельности, применяя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Производная для $u(x) = (x - 3)^5$:
$u'(x) = ((x - 3)^5)' = 5(x - 3)^{5-1} \cdot (x - 3)' = 5(x - 3)^4 \cdot 1 = 5(x - 3)^4$.
Производная для $v(x) = (2 + 5x)^6$:
$v'(x) = ((2 + 5x)^6)' = 6(2 + 5x)^{6-1} \cdot (2 + 5x)' = 6(2 + 5x)^5 \cdot 5 = 30(2 + 5x)^5$.
Теперь подставим найденные выражения для $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 5(x - 3)^4 \cdot (2 + 5x)^6 + (x - 3)^5 \cdot 30(2 + 5x)^5$.
Для упрощения выражения вынесем за скобки общие множители $5(x - 3)^4(2 + 5x)^5$:
$y' = 5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 \left( 1 \cdot (2 + 5x) + (x - 3) \cdot 6 \right)$.
Упростим выражение в больших скобках:
$(2 + 5x) + 6(x - 3) = 2 + 5x + 6x - 18 = 11x - 16$.
Таким образом, производная функции имеет следующий вид:
$y' = 5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16)$.
Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти требуемые значения x:
$5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:
1) $(x - 3)^4 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2) $(2 + 5x)^5 = 0 \implies 2 + 5x = 0 \implies 5x = -2 \implies x = -2/5 = -0.4$.
3) $11x - 16 = 0 \implies 11x = 16 \implies x = 16/11$.
Следовательно, производная функции обращается в нуль в трех точках.
Ответ: $x = 3; x = -2/5; x = 16/11$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 184 расположенного на странице 83 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №184 (с. 83), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.