Номер 184, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 184, страница 83.

Условие.

184. При каких значениях $x$ значение производной функции $y=(x-3)^5(2+5x)^6$ равно 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значения x, при которых производная функции $y = (x - 3)^5 (2 + 5x)^6$ равна нулю, необходимо сначала найти эту производную, а затем приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Функция $y(x)$ представляет собой произведение двух функций: $u(x) = (x - 3)^5$ и $v(x) = (2 + 5x)^6$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$ по отдельности, применяя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная для $u(x) = (x - 3)^5$:

$u'(x) = ((x - 3)^5)' = 5(x - 3)^{5-1} \cdot (x - 3)' = 5(x - 3)^4 \cdot 1 = 5(x - 3)^4$.

Производная для $v(x) = (2 + 5x)^6$:

$v'(x) = ((2 + 5x)^6)' = 6(2 + 5x)^{6-1} \cdot (2 + 5x)' = 6(2 + 5x)^5 \cdot 5 = 30(2 + 5x)^5$.

Теперь подставим найденные выражения для $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x - 3)^4 \cdot (2 + 5x)^6 + (x - 3)^5 \cdot 30(2 + 5x)^5$.

Для упрощения выражения вынесем за скобки общие множители $5(x - 3)^4(2 + 5x)^5$:

$y' = 5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 \left( 1 \cdot (2 + 5x) + (x - 3) \cdot 6 \right)$.

Упростим выражение в больших скобках:

$(2 + 5x) + 6(x - 3) = 2 + 5x + 6x - 18 = 11x - 16$.

Таким образом, производная функции имеет следующий вид:

$y' = 5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16)$.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти требуемые значения x:

$5(x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1) $(x - 3)^4 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.

2) $(2 + 5x)^5 = 0 \implies 2 + 5x = 0 \implies 5x = -2 \implies x = -2/5 = -0.4$.

3) $11x - 16 = 0 \implies 11x = 16 \implies x = 16/11$.

Следовательно, производная функции обращается в нуль в трех точках.

Ответ: $x = 3; x = -2/5; x = 16/11$.