Номер 190, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 190, страница 83.

Условие.

190. Найти точки, в которых значение производной функции $f(x)$ равно 1:

1) $f(x) = x^4 + 8x^3 + x - 3;$

2) $f(x) = 2x^5 + 5x^2 + x + 4;$

3) $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 16}{x};$

4) $f(x) = \frac{x\sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = x^4 + 8x^3 + x - 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^4)' + (8x^3)' + (x)' - (3)' = 4x^{4-1} + 8 \cdot 3x^{3-1} + 1 - 0 = 4x^3 + 24x^2 + 1$.

Теперь приравняем значение производной к 1, как указано в условии задачи:

$f'(x) = 1$

$4x^3 + 24x^2 + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$4x^3 + 24x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:

$4x^2(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

$4x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

Ответ: $x = 0$, $x = -6$.

2) Дана функция $f(x) = 2x^5 + 5x^2 + x + 4$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^5)' + (5x^2)' + (x)' + (4)' = 2 \cdot 5x^{5-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} + 1 + 0 = 10x^4 + 10x + 1$.

Приравняем производную к 1:

$10x^4 + 10x + 1 = 1$

$10x^4 + 10x = 0$

Вынесем общий множитель $10x$ за скобки:

$10x(x^3 + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$10x = 0 \implies x_1 = 0$

$x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x_2 = -1$

Ответ: $x = 0$, $x = -1$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 16}{x}$.

Область определения функции: $x \neq 0$. Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$f(x) = \frac{x^3}{x} + \frac{x^2}{x} + \frac{16}{x} = x^2 + x + 16x^{-1}$.

Теперь найдем производную этой функции:

$f'(x) = (x^2)' + (x)' + (16x^{-1})' = 2x + 1 + 16(-1)x^{-2} = 2x + 1 - \frac{16}{x^2}$.

Приравняем производную к 1:

$2x + 1 - \frac{16}{x^2} = 1$

$2x - \frac{16}{x^2} = 0$

Домножим обе части уравнения на $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$2x^3 - 16 = 0$

$2x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8} \implies x = 2$

Ответ: $x = 2$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x\sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}$.

Область определения функции: $x \neq 0$. Перепишем функцию, используя степени: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

$f(x) = \frac{x \cdot x^{1/3} + 3x + 18}{x^{1/3}} = \frac{x^{4/3} + 3x^1 + 18}{x^{1/3}}$.

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$f(x) = \frac{x^{4/3}}{x^{1/3}} + \frac{3x^1}{x^{1/3}} + \frac{18}{x^{1/3}} = x^{4/3 - 1/3} + 3x^{1 - 1/3} + 18x^{-1/3} = x^1 + 3x^{2/3} + 18x^{-1/3}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (x)' + (3x^{2/3})' + (18x^{-1/3})' = 1 + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} + 18 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1} = 1 + 2x^{-1/3} - 6x^{-4/3}$.

Приравняем производную к 1:

$1 + 2x^{-1/3} - 6x^{-4/3} = 1$

$2x^{-1/3} - 6x^{-4/3} = 0$

$\frac{2}{x^{1/3}} - \frac{6}{x^{4/3}} = 0$

Домножим обе части на $x^{4/3}$ (так как $x \neq 0$):

$2\frac{x^{4/3}}{x^{1/3}} - 6 = 0$

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.