Номер 194, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 194, страница 84.

Условие.

194. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону $m(l) = 2l^2 + 3l$, где $l$ — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

2) в конце стержня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, масса `m` части стержня длиной `l` (отсчитываемой от его начала) выражается функцией $m(l) = 2l^2 + 3l$.

Линейная плотность $\rho$ является физической величиной, равной отношению массы к длине. Для неоднородного стержня линейная плотность в конкретной точке определяется как производная функции массы по длине.

Таким образом, чтобы найти функцию линейной плотности $\rho(l)$, нужно найти производную от функции массы $m(l)$:

$\rho(l) = m'(l) = \frac{d}{dl}(2l^2 + 3l)$

Используя правила дифференцирования степенной функции, получаем:

$\rho(l) = 2 \cdot (l^2)' + 3 \cdot (l)' = 2 \cdot 2l + 3 \cdot 1 = 4l + 3$

Итак, мы получили общую формулу для вычисления линейной плотности в любой точке стержня, отстоящей на расстояние $l$ от его начала: $\rho(l) = 4l + 3$. Единица измерения плотности — грамм на сантиметр (г/см).

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

Для нахождения линейной плотности в этой точке необходимо подставить значение $l = 3$ см в полученную формулу $\rho(l)$:

$\rho(3) = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$ г/см.

Ответ: 15 г/см.

2) в конце стержня.

Полная длина стержня составляет 25 см. Следовательно, конец стержня соответствует значению $l = 25$ см.

Подставим это значение в формулу для линейной плотности $\rho(l)$:

$\rho(25) = 4 \cdot 25 + 3 = 100 + 3 = 103$ г/см.

Ответ: 103 г/см.