Номер 187, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 187, страница 83.

Условие.

187. 1) $(x+2)\sqrt[3]{x};$

2) $(x+1)\sqrt{x};$

3) $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^2;$

4) $\frac{x^3+2}{\sqrt[3]{x}}, \bullet$

5) $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}});$

6) $(\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $(x+2)\sqrt[3]{x}$, раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt[3]{x}$.
$(x+2)\sqrt[3]{x} = x \cdot \sqrt[3]{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{x}$
Для преобразования первого слагаемого $x \cdot \sqrt[3]{x}$, представим $x$ как корень третьей степени: $x = \sqrt[3]{x^3}$.
Тогда $x \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^4}$.
Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
$\sqrt[3]{x^4} + 2\sqrt[3]{x}$.
Ответ: $\sqrt[3]{x^4} + 2\sqrt[3]{x}$

2) Раскроем скобки в выражении $(x+1)\sqrt{x}$, умножив каждый член на $\sqrt{x}$.
$(x+1)\sqrt{x} = x \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x} + \sqrt{x}$
Преобразуем первое слагаемое, представив $x$ как $\sqrt{x^2}$:
$x\sqrt{x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^3}$.
Получаем следующее выражение:
$\sqrt{x^3} + \sqrt{x}$.
Ответ: $\sqrt{x^3} + \sqrt{x}$

3) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае, $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.
Найдем каждый член формулы:
$a^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = (x^{1/4})^2 = x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.
$b^2 = \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 = \frac{1}{(\sqrt[4]{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = 2 \cdot 1 = 2$.
Соберем все вместе:
$\sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $\sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

4) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3+2}{\sqrt[3]{x}}$, разделим каждый член числителя на знаменатель.
$\frac{x^3+2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$
Упростим первое слагаемое, используя свойства степеней ($\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$):
$\frac{x^3}{x^{1/3}} = x^{3 - 1/3} = x^{9/3 - 1/3} = x^{8/3}$.
Теперь запишем результат в виде корня: $x^{8/3} = \sqrt[3]{x^8}$. Можно вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{x^8} = \sqrt[3]{x^6 \cdot x^2} = x^2\sqrt[3]{x^2}$.
Итоговое выражение:
$x^2\sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $x^2\sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

5) Данное выражение $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}})$ является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.
Найдем квадраты этих выражений:
$a^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$.
$b^2 = \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Результатом будет разность этих квадратов:
$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

6) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt[3]{x}$.
Найдем каждый член формулы:
$a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.
$b^2 = (\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$. Для перемножения корней приведем их к общему показателю 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$\sqrt{x} = x^{1/2} = x^{3/6} = \sqrt[6]{x^3}$
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3} = x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^2} = 2\sqrt[6]{x^{3+2}} = 2\sqrt[6]{x^5}$.
Собираем все части по формуле:
$x - 2\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $x - 2\sqrt[6]{x^5} + \sqrt[3]{x^2}$