Номер 191, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Производная степенной функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 191, страница 84.
№191 (с. 84)
Условие. №191 (с. 84)
скриншот условия

191. Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:
1) $f(x) = x^4 - 4x^2 + 1$;
2) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$;
3) $f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$;
4) $f(x) = \frac{x^3 + 16}{x}$;
5) $f(x) = (x+2)^2 \sqrt{x}$;
6) $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$.
Решение 1. №191 (с. 84)






Решение 2. №191 (с. 84)


Решение 3. №191 (с. 84)
Дана функция $f(x) = x^4 - 4x^2 + 1$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 4x^2 + 1)' = 4x^3 - 8x$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$4x^3 - 8x > 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 2) > 0$
Разложим выражение $(x^2 - 2)$ на множители:
$4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$
Найдем корни уравнения $4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$. Корни: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.
Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной в каждом интервале методом интервалов. Так как коэффициент при старшей степени ($x^3$) положителен, крайний правый интервал будет иметь знак "+". Далее знаки чередуются:
$(-\infty, -\sqrt{2}): -$
$(-\sqrt{2}, 0): +$
$(0, \sqrt{2}): -$
$(\sqrt{2}, +\infty): +$
Таким образом, неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.
2)Дана функция $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3)' = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$12x^3 - 12x^2 - 24x > 0$
Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:
$12x(x^2 - x - 2) > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Тогда неравенство принимает вид:
$12x(x - 2)(x + 1) > 0$
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
Используем метод интервалов. Отмечаем точки на числовой оси и расставляем знаки. Крайний правый интервал имеет знак "+", далее знаки чередуются:
$(-\infty, -1): -$
$(-1, 0): +$
$(0, 2): -$
$(2, +\infty): +$
Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.
3)Дана функция $f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную. Удобнее сначала раскрыть скобки: $f(x) = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + x^{-2}$.
$f'(x) = (x^2 + 2 + x^{-2})' = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$.
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$2x - \frac{2}{x^3} > 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{2x^4 - 2}{x^3} > 0$
$\frac{2(x^4 - 1)}{x^3} > 0$
$\frac{2(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^3} > 0$
Так как $2(x^2 + 1) > 0$ для любого $x$, знак дроби зависит от знака выражения $\frac{x^2 - 1}{x^3}$:
$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^3} > 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Методом интервалов определяем знаки:
$(-\infty, -1): \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
$(-1, 0): \frac{(-)(+)}{(-)} > 0$
$(0, 1): \frac{(-)(+)}{(+)} < 0$
$(1, +\infty): \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
Неравенство выполняется при $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.
4)Дана функция $f(x) = \frac{x^3 + 16}{x}$.
Область определения: $x \neq 0$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^2 + \frac{16}{x} = x^2 + 16x^{-1}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$2x - \frac{16}{x^2} > 0$
$\frac{2x^3 - 16}{x^2} > 0$
Знаменатель $x^2 > 0$ при $x \neq 0$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:
$2x^3 - 16 > 0$
$2x^3 > 16$
$x^3 > 8$
$x > 2$
Решение удовлетворяет области определения.
Ответ: $x \in (2, \infty)$.
5)Дана функция $f(x) = (x + 2)^2 \sqrt{x}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.
Найдем производную, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x+2)^2)'\sqrt{x} + (x+2)^2(\sqrt{x})' = 2(x+2)\sqrt{x} + (x+2)^2 \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Область определения производной: $x > 0$.
Приведем к общему знаменателю и упростим:
$f'(x) = \frac{2(x+2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x+2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x+2) + (x+2)^2}{2\sqrt{x}}$
Вынесем общий множитель $(x+2)$ в числителе:
$f'(x) = \frac{(x+2)(4x + (x+2))}{2\sqrt{x}} = \frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}}$
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}} > 0$
В области определения производной $x > 0$ все множители положительны:
- $x+2 > 2 > 0$
- $5x+2 > 2 > 0$
- $2\sqrt{x} > 0$
Произведение и частное положительных чисел положительно. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения производной, т.е. для $x > 0$.
Ответ: $x \in (0, \infty)$.
6)Дана функция $f(x) = (x - 3) \sqrt{x}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.
Найдем производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x-3)'\sqrt{x} + (x-3)(\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x-3) \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Область определения производной: $x > 0$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + x-3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{3x-3}{2\sqrt{x}} > 0$
В области определения производной $x > 0$, знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен. Значит, знак дроби зависит только от знака числителя:
$3x - 3 > 0$
$3x > 3$
$x > 1$
Решение удовлетворяет области определения производной.
Ответ: $x \in (1, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 191 расположенного на странице 84 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №191 (с. 84), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.