Номер 191, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 191, страница 84.

Условие.

191. Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:

1) $f(x) = x^4 - 4x^2 + 1$;

2) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$;

3) $f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$;

4) $f(x) = \frac{x^3 + 16}{x}$;

5) $f(x) = (x+2)^2 \sqrt{x}$;

6) $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $f(x) = x^4 - 4x^2 + 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4 - 4x^2 + 1)' = 4x^3 - 8x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$4x^3 - 8x > 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 2) > 0$

Разложим выражение $(x^2 - 2)$ на множители:

$4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$

Найдем корни уравнения $4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$. Корни: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной в каждом интервале методом интервалов. Так как коэффициент при старшей степени ($x^3$) положителен, крайний правый интервал будет иметь знак "+". Далее знаки чередуются:

$(-\infty, -\sqrt{2}): -$

$(-\sqrt{2}, 0): +$

$(0, \sqrt{2}): -$

$(\sqrt{2}, +\infty): +$

Таким образом, неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3)' = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$12x^3 - 12x^2 - 24x > 0$

Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:

$12x(x^2 - x - 2) > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Тогда неравенство принимает вид:

$12x(x - 2)(x + 1) > 0$

Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Используем метод интервалов. Отмечаем точки на числовой оси и расставляем знаки. Крайний правый интервал имеет знак "+", далее знаки чередуются:

$(-\infty, -1): -$

$(-1, 0): +$

$(0, 2): -$

$(2, +\infty): +$

Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.

3)

Дана функция $f(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Найдем производную. Удобнее сначала раскрыть скобки: $f(x) = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + x^{-2}$.

$f'(x) = (x^2 + 2 + x^{-2})' = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2x - \frac{2}{x^3} > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x^4 - 2}{x^3} > 0$

$\frac{2(x^4 - 1)}{x^3} > 0$

$\frac{2(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^3} > 0$

Так как $2(x^2 + 1) > 0$ для любого $x$, знак дроби зависит от знака выражения $\frac{x^2 - 1}{x^3}$:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^3} > 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Методом интервалов определяем знаки:

$(-\infty, -1): \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$

$(-1, 0): \frac{(-)(+)}{(-)} > 0$

$(0, 1): \frac{(-)(+)}{(+)} < 0$

$(1, +\infty): \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$

Неравенство выполняется при $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{x^3 + 16}{x}$.

Область определения: $x \neq 0$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^2 + \frac{16}{x} = x^2 + 16x^{-1}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2x - \frac{16}{x^2} > 0$

$\frac{2x^3 - 16}{x^2} > 0$

Знаменатель $x^2 > 0$ при $x \neq 0$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$2x^3 - 16 > 0$

$2x^3 > 16$

$x^3 > 8$

$x > 2$

Решение удовлетворяет области определения.

Ответ: $x \in (2, \infty)$.

5)

Дана функция $f(x) = (x + 2)^2 \sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем производную, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+2)^2)'\sqrt{x} + (x+2)^2(\sqrt{x})' = 2(x+2)\sqrt{x} + (x+2)^2 \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Область определения производной: $x > 0$.

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$f'(x) = \frac{2(x+2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x+2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x+2) + (x+2)^2}{2\sqrt{x}}$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ в числителе:

$f'(x) = \frac{(x+2)(4x + (x+2))}{2\sqrt{x}} = \frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}}$

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}} > 0$

В области определения производной $x > 0$ все множители положительны:

• $x+2 > 2 > 0$
• $5x+2 > 2 > 0$
• $2\sqrt{x} > 0$

Произведение и частное положительных чисел положительно. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения производной, т.е. для $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

6)

Дана функция $f(x) = (x - 3) \sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем производную по правилу произведения:

$f'(x) = (x-3)'\sqrt{x} + (x-3)(\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x-3) \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Область определения производной: $x > 0$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + x-3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{3x-3}{2\sqrt{x}} > 0$

В области определения производной $x > 0$, знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен. Значит, знак дроби зависит только от знака числителя:

$3x - 3 > 0$

$3x > 3$

$x > 1$

Решение удовлетворяет области определения производной.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.