Номер 197, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 197, страница 87.

Условие.

197. 1) $2\cos 3x$;

2) $-5e^{2x}$;

3) $-4\ln 2x$;

4) $-3\sin 2x$;

5) $\frac{3}{10}e^{-2x}$;

6) $2e^{2x} - 4e^{-2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = 2\cos(3x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и правилом вынесения константы за знак производной.
Пусть внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя $g(x) = 3x$. Их производные равны $f'(u) = -\sin(u)$ и $g'(x) = 3$.
$y' = (2\cos(3x))' = 2 \cdot (\cos(3x))' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)$.
Ответ: $-6\sin(3x)$

2) Для нахождения производной функции $y = -5e^{2x}$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = -5$. Внешняя функция $f(u) = e^u$, внутренняя $g(x) = 2x$. Их производные: $f'(u) = e^u$ и $g'(x) = 2$.
$y' = (-5e^{2x})' = -5 \cdot (e^{2x})' = -5 \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = -5 \cdot e^{2x} \cdot 2 = -10e^{2x}$.
Ответ: $-10e^{2x}$

3) Для нахождения производной функции $y = -4\ln(2x)$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = -4$. Внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, внутренняя $g(x) = 2x$. Их производные: $f'(u) = \frac{1}{u}$ и $g'(x) = 2$.
$y' = (-4\ln(2x))' = -4 \cdot (\ln(2x))' = -4 \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = -4 \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = -\frac{8}{2x} = -\frac{4}{x}$.
Ответ: $-\frac{4}{x}$

4) Для нахождения производной функции $y = -3\sin(2x)$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = -3$. Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, внутренняя $g(x) = 2x$. Их производные: $f'(u) = \cos(u)$ и $g'(x) = 2$.
$y' = (-3\sin(2x))' = -3 \cdot (\sin(2x))' = -3 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = -3 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -6\cos(2x)$.
Ответ: $-6\cos(2x)$

5) Для нахождения производной функции $y = \frac{3}{10}e^{-2x}$ воспользуемся теми же правилами.
Константа $c = \frac{3}{10}$. Внешняя функция $f(u) = e^u$, внутренняя $g(x) = -2x$. Их производные: $f'(u) = e^u$ и $g'(x) = -2$.
$y' = (\frac{3}{10}e^{-2x})' = \frac{3}{10} \cdot (e^{-2x})' = \frac{3}{10} \cdot e^{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{3}{10} e^{-2x} \cdot (-2) = -\frac{6}{10}e^{-2x} = -\frac{3}{5}e^{-2x}$.
Ответ: $-\frac{3}{5}e^{-2x}$

6) Для нахождения производной функции $y = 2e^{2x} - 4e^{-2x}$ воспользуемся правилом дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого: $(2e^{2x})' = 2 \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}$.
Производная второго слагаемого: $(4e^{-2x})' = 4 \cdot e^{-2x} \cdot (-2x)' = 4 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -8e^{-2x}$.
Теперь вычтем производную второго слагаемого из производной первого:
$y' = 4e^{2x} - (-8e^{-2x}) = 4e^{2x} + 8e^{-2x}$.
Ответ: $4e^{2x} + 8e^{-2x}$