Номер 204, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 204, страница 88.

Условие.

204. 1) $\sin^2 x$;

2) $\cos^2 x$;

3) $\cos^3 x$;

4) $\sin^4 x$;

5) $e^{2x^2}$;

6) $e^{-x^4}$;

7) $\ln 3x^4$;

8) $\ln (-2x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти производную функции $y = \sin^2 x$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Запишем функцию в виде $y = (\sin x)^2$.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^2$, а внутренняя функция $u(x) = \sin x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 2u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
По цепному правилу, производная исходной функции $y'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Подставляем наши значения: $y' = 2(\sin x) \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, мы можем упростить выражение.
$y' = \sin(2x)$.
Ответ: $2 \sin x \cos x$ или $\sin(2x)$.

2) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 x$ или $y = (\cos x)^2$ применим цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^2$, а внутренняя функция $u(x) = \cos x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 2u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
По цепному правилу: $y' = 2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, можно записать ответ в другом виде.
$y' = -\sin(2x)$.
Ответ: $-2 \sin x \cos x$ или $-\sin(2x)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \cos^3 x$ или $y = (\cos x)^3$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^3$, а внутренняя функция $u(x) = \cos x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 3u^2$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
По цепному правилу: $y' = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$.
Ответ: $-3 \cos^2 x \sin x$.

4) Для нахождения производной функции $y = \sin^4 x$ или $y = (\sin x)^4$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^4$, а внутренняя функция $u(x) = \sin x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 4u^3$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
По цепному правилу: $y' = 4(\sin x)^3 \cdot \cos x = 4 \sin^3 x \cos x$.
Ответ: $4 \sin^3 x \cos x$.

5) Для нахождения производной функции $y = e^{2x^2}$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u(x) = 2x^2$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$.
По цепному правилу: $y' = e^{2x^2} \cdot 4x = 4x e^{2x^2}$.
Ответ: $4x e^{2x^2}$.

6) Для нахождения производной функции $y = e^{-x^4}$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u(x) = -x^4$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (-x^4)' = -4x^3$.
По цепному правилу: $y' = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4}$.
Ответ: $-4x^3 e^{-x^4}$.

7) Для нахождения производной функции $y = \ln(3x^4)$ используем цепное правило. Область определения функции задается условием $3x^4 > 0$, что верно для всех $x \neq 0$.
Пусть внешняя функция $f(u) = \ln u$, а внутренняя функция $u(x) = 3x^4$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x^4)' = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$.
По цепному правилу: $y' = \frac{1}{3x^4} \cdot 12x^3 = \frac{12x^3}{3x^4} = \frac{4}{x}$.
Также можно было сначала упростить логарифм: $y = \ln 3 + \ln(x^4) = \ln 3 + 4\ln|x|$. Производная $(\ln 3)'=0$, а производная $(4\ln|x|)' = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$.
Ответ: $\frac{4}{x}$.

8) Для нахождения производной функции $y = \ln(-2x)$ используем цепное правило.
Функция определена, когда аргумент логарифма положителен: $-2x > 0$, что означает $x < 0$.
Пусть внешняя функция $f(u) = \ln u$, а внутренняя функция $u(x) = -2x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (-2x)' = -2$.
По цепному правилу: $y' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{-2}{-2x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$.