Номер 211, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 211, страница 89.
№211 (с. 89)
Условие. №211 (с. 89)
скриншот условия

211. 1) $log_2(\sqrt{x^3 + 4});$
2) $2^{x^2 + 3x}, x;$
3) $\text{tg}^2 2x;$
4) $\ln \frac{x-2}{x+2}.$
Решение 1. №211 (с. 89)




Решение 2. №211 (с. 89)


Решение 3. №211 (с. 89)
1) Чтобы найти производную функции $y = \log_2(x^3 + 4)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции. Функция имеет вид $y = \log_a(u(x))$, где основание $a=2$ и внутренняя функция $u(x) = x^3 + 4$.
Формула производной для логарифмической функции с произвольным основанием: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$: $u'(x) = (x^3 + 4)' = (x^3)' + (4)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.
Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:
$y' = \frac{3x^2}{(x^3 + 4)\ln 2}$.
Ответ: $\frac{3x^2}{(x^3 + 4)\ln 2}$
2) Чтобы найти производную функции $y = 2^{x^2 + 3x}$, мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции. Функция имеет вид $y = a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени (внутренняя функция) $u(x) = x^2 + 3x$.
Формула производной для показательной функции: $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.
Сначала найдем производную показателя степени $u(x)$: $u'(x) = (x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$.
Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:
$y' = 2^{x^2 + 3x} \cdot \ln 2 \cdot (2x + 3)$.
Ответ: $(2x + 3) \cdot 2^{x^2 + 3x} \ln 2$
3) Чтобы найти производную функции $y = \tg^2(2x)$, мы применяем цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) несколько раз. Функцию можно представить как $y = (u(v(x)))^2$, где $v(x) = 2x$, $u(v) = \tg(v)$.
Сначала применим правило для степенной функции $f(z) = z^2$, где $z = \tg(2x)$: $y' = ((\tg(2x))^2)' = 2 \cdot \tg^{2-1}(2x) \cdot (\tg(2x))' = 2\tg(2x) \cdot (\tg(2x))'$.
Теперь найдем производную от $\tg(2x)$. Здесь $v=2x$ — внутренняя функция. Производная тангенса $(\tg v)' = \frac{1}{\cos^2 v} \cdot v'$. Производная $v(x) = 2x$ равна $v' = 2$.
Следовательно, $(\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.
Подставим это обратно в выражение для $y'$:
$y' = 2\tg(2x) \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4\tg(2x)}{\cos^2(2x)}$.
Ответ: $\frac{4\tg(2x)}{\cos^2(2x)}$
4) Чтобы найти производную функции $y = \ln\frac{x-2}{x+2}$, можно пойти двумя путями. Проще всего сначала упростить выражение с помощью свойств логарифмов.
Используем свойство логарифма частного $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$: $y = \ln(x-2) - \ln(x+2)$.
Теперь найдем производную разности функций. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
$y' = (\ln(x-2))' - (\ln(x+2))' = \frac{(x-2)'}{x-2} - \frac{(x+2)'}{x+2}$.
Так как $(x-2)' = 1$ и $(x+2)' = 1$, получаем:
$y' = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$.
Приведем полученное выражение к общему знаменателю:
$y' = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{x^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4}$.
Ответ: $\frac{4}{x^2-4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 211 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №211 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.