Номер 211, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 211, страница 89.

Условие.

211. 1) $log_2(\sqrt{x^3 + 4});$

2) $2^{x^2 + 3x}, x;$

3) $\text{tg}^2 2x;$

4) $\ln \frac{x-2}{x+2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти производную функции $y = \log_2(x^3 + 4)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции. Функция имеет вид $y = \log_a(u(x))$, где основание $a=2$ и внутренняя функция $u(x) = x^3 + 4$.

Формула производной для логарифмической функции с произвольным основанием: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$: $u'(x) = (x^3 + 4)' = (x^3)' + (4)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:

$y' = \frac{3x^2}{(x^3 + 4)\ln 2}$.

Ответ: $\frac{3x^2}{(x^3 + 4)\ln 2}$

2) Чтобы найти производную функции $y = 2^{x^2 + 3x}$, мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции. Функция имеет вид $y = a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени (внутренняя функция) $u(x) = x^2 + 3x$.

Формула производной для показательной функции: $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.

Сначала найдем производную показателя степени $u(x)$: $u'(x) = (x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$.

Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:

$y' = 2^{x^2 + 3x} \cdot \ln 2 \cdot (2x + 3)$.

Ответ: $(2x + 3) \cdot 2^{x^2 + 3x} \ln 2$

3) Чтобы найти производную функции $y = \tg^2(2x)$, мы применяем цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) несколько раз. Функцию можно представить как $y = (u(v(x)))^2$, где $v(x) = 2x$, $u(v) = \tg(v)$.

Сначала применим правило для степенной функции $f(z) = z^2$, где $z = \tg(2x)$: $y' = ((\tg(2x))^2)' = 2 \cdot \tg^{2-1}(2x) \cdot (\tg(2x))' = 2\tg(2x) \cdot (\tg(2x))'$.

Теперь найдем производную от $\tg(2x)$. Здесь $v=2x$ — внутренняя функция. Производная тангенса $(\tg v)' = \frac{1}{\cos^2 v} \cdot v'$. Производная $v(x) = 2x$ равна $v' = 2$.

Следовательно, $(\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Подставим это обратно в выражение для $y'$:

$y' = 2\tg(2x) \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4\tg(2x)}{\cos^2(2x)}$.

Ответ: $\frac{4\tg(2x)}{\cos^2(2x)}$

4) Чтобы найти производную функции $y = \ln\frac{x-2}{x+2}$, можно пойти двумя путями. Проще всего сначала упростить выражение с помощью свойств логарифмов.

Используем свойство логарифма частного $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$: $y = \ln(x-2) - \ln(x+2)$.

Теперь найдем производную разности функций. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

$y' = (\ln(x-2))' - (\ln(x+2))' = \frac{(x-2)'}{x-2} - \frac{(x+2)'}{x+2}$.

Так как $(x-2)' = 1$ и $(x+2)' = 1$, получаем:

$y' = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{x^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4}$.

Ответ: $\frac{4}{x^2-4}$