Номер 212, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 212, страница 89.
№212 (с. 89)
Условие. №212 (с. 89)
скриншот условия

212. 1) $\sqrt{x^2+1} \cdot \text{ctg } 4x;$
2) $e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x;$
3) $\sqrt{x} \cdot \sin 4x;$
4) $e^{3-2x} \cdot \cos (3-2x).$
Решение 1. №212 (с. 89)




Решение 2. №212 (с. 89)

Решение 3. №212 (с. 89)
1) Найдем производную функции $y = \sqrt{x^2+1} \cdot \operatorname{ctg} 4x$.
Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x^2+1}$ и $v(x) = \operatorname{ctg} 4x$.
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Найдем производные для каждой функции, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Производная $u(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}$:
$u'(x) = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Производная $v(x) = \operatorname{ctg} 4x$:
$v'(x) = (\operatorname{ctg} 4x)' = -\frac{1}{\sin^2(4x)} \cdot (4x)' = -\frac{4}{\sin^2(4x)}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \operatorname{ctg} 4x + \sqrt{x^2+1} \cdot \left(-\frac{4}{\sin^2(4x)}\right) = \frac{x \operatorname{ctg} 4x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2(4x)}$.
Ответ: $y' = \frac{x \operatorname{ctg} 4x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2(4x)}$.
2) Найдем производную функции $y = e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x$.
Это произведение двух функций: $u(x) = e^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \sin^3 3x$.
Используем правило произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$ по цепному правилу.
Производная $u(x) = e^{\frac{x}{2}}$:
$u'(x) = (e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.
Производная $v(x) = \sin^3 3x = (\sin 3x)^3$:
$v'(x) = ((\sin 3x)^3)' = 3(\sin 3x)^2 \cdot (\sin 3x)' = 3\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\sin^2(3x)\cos(3x)$.
Подставим производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \cdot \sin^3 3x + e^{\frac{x}{2}} \cdot 9\sin^2(3x)\cos(3x)$.
Вынесем общий множитель $e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x)$ за скобки для упрощения:
$y' = e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x) \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right)$.
Ответ: $y' = e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x) \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right)$.
3) Найдем производную функции $y = \sqrt{x} \cdot \sin 4x$.
Это произведение функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \sin 4x$.
По правилу произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Найдем производные функций.
Производная $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$:
$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная $v(x) = \sin 4x$ (по цепному правилу):
$v'(x) = (\sin 4x)' = \cos(4x) \cdot (4x)' = 4\cos(4x)$.
Подставим в формулу произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin 4x + \sqrt{x} \cdot 4\cos(4x) = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos(4x)$.
Ответ: $y' = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos(4x)$.
4) Найдем производную функции $y = e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x)$.
Функция является произведением $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = \cos(3-2x)$.
Применим правило произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Найдем производные, используя цепное правило. Аргумент у обеих функций одинаковый: $g(x) = 3-2x$, его производная $g'(x) = -2$.
Производная $u(x) = e^{3-2x}$:
$u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = -2e^{3-2x}$.
Производная $v(x) = \cos(3-2x)$:
$v'(x) = (\cos(3-2x))' = -\sin(3-2x) \cdot (3-2x)' = -\sin(3-2x) \cdot (-2) = 2\sin(3-2x)$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = (-2e^{3-2x}) \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot 2\sin(3-2x)$.
Вынесем общий множитель $2e^{3-2x}$ за скобки:
$y' = 2e^{3-2x}(-\cos(3-2x) + \sin(3-2x)) = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.
Ответ: $y' = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 212 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №212 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.