Номер 212, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 212, страница 89.

Условие.

212. 1) $\sqrt{x^2+1} \cdot \text{ctg } 4x;$

2) $e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x;$

3) $\sqrt{x} \cdot \sin 4x;$

4) $e^{3-2x} \cdot \cos (3-2x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдем производную функции $y = \sqrt{x^2+1} \cdot \operatorname{ctg} 4x$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x^2+1}$ и $v(x) = \operatorname{ctg} 4x$.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой функции, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Производная $u(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}$:

$u'(x) = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Производная $v(x) = \operatorname{ctg} 4x$:

$v'(x) = (\operatorname{ctg} 4x)' = -\frac{1}{\sin^2(4x)} \cdot (4x)' = -\frac{4}{\sin^2(4x)}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \operatorname{ctg} 4x + \sqrt{x^2+1} \cdot \left(-\frac{4}{\sin^2(4x)}\right) = \frac{x \operatorname{ctg} 4x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2(4x)}$.

Ответ: $y' = \frac{x \operatorname{ctg} 4x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2(4x)}$.

2) Найдем производную функции $y = e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x$.

Это произведение двух функций: $u(x) = e^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \sin^3 3x$.

Используем правило произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$ по цепному правилу.

Производная $u(x) = e^{\frac{x}{2}}$:

$u'(x) = (e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.

Производная $v(x) = \sin^3 3x = (\sin 3x)^3$:

$v'(x) = ((\sin 3x)^3)' = 3(\sin 3x)^2 \cdot (\sin 3x)' = 3\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\sin^2(3x)\cos(3x)$.

Подставим производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \cdot \sin^3 3x + e^{\frac{x}{2}} \cdot 9\sin^2(3x)\cos(3x)$.

Вынесем общий множитель $e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x)$ за скобки для упрощения:

$y' = e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x) \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right)$.

Ответ: $y' = e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x) \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right)$.

3) Найдем производную функции $y = \sqrt{x} \cdot \sin 4x$.

Это произведение функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \sin 4x$.

По правилу произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные функций.

Производная $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная $v(x) = \sin 4x$ (по цепному правилу):

$v'(x) = (\sin 4x)' = \cos(4x) \cdot (4x)' = 4\cos(4x)$.

Подставим в формулу произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin 4x + \sqrt{x} \cdot 4\cos(4x) = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos(4x)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos(4x)$.

4) Найдем производную функции $y = e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x)$.

Функция является произведением $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = \cos(3-2x)$.

Применим правило произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные, используя цепное правило. Аргумент у обеих функций одинаковый: $g(x) = 3-2x$, его производная $g'(x) = -2$.

Производная $u(x) = e^{3-2x}$:

$u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = -2e^{3-2x}$.

Производная $v(x) = \cos(3-2x)$:

$v'(x) = (\cos(3-2x))' = -\sin(3-2x) \cdot (3-2x)' = -\sin(3-2x) \cdot (-2) = 2\sin(3-2x)$.

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = (-2e^{3-2x}) \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot 2\sin(3-2x)$.

Вынесем общий множитель $2e^{3-2x}$ за скобки:

$y' = 2e^{3-2x}(-\cos(3-2x) + \sin(3-2x)) = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.

Ответ: $y' = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.