Номер 216, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 216, страница 89.

Условие.

216. Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:

1) $f(x) = e^x - x;$

2) $f(x) = 6x + \cos 3x;$

3) $f(x) = \ln x - x;$

4) $f(x) = x - 2\ln x;$

5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x};$

6) $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1} - 3x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = e^x - x$.

Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$e^x - 1 > 0$

$e^x > 1$

Поскольку $1 = e^0$, получаем $e^x > e^0$.

Так как показательная функция $y=e^x$ является строго возрастающей, неравенство равносильно $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = 6x + \cos(3x)$.

Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (6x + \cos(3x))' = (6x)' + (\cos(3x))' = 6 - \sin(3x) \cdot 3 = 6 - 3\sin(3x)$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$6 - 3\sin(3x) > 0$

$6 > 3\sin(3x)$

$2 > \sin(3x)$

Область значений функции синус: $[-1, 1]$. Это означает, что $\sin(3x) \le 1$ для любого действительного значения $x$.

Поскольку $1 < 2$, неравенство $\sin(3x) < 2$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = \ln x - x$.

Область определения функции задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\ln x - x)' = (\ln x)' - (x)' = \frac{1}{x} - 1$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ с учетом области определения:

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

$\frac{1}{x} > 1$

Так как из области определения $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства:

$1 > x$, или $x < 1$.

Совмещая с областью определения $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

4) Дана функция $f(x) = x - 2\ln x$.

Область определения функции задается условием $x > 0$ из-за наличия логарифма.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x - 2\ln x)' = (x)' - (2\ln x)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ в области $x > 0$:

$1 - \frac{2}{x} > 0$

$1 > \frac{2}{x}$

Поскольку $x > 0$, умножаем обе части на $x$:

$x > 2$.

Это решение удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

5) Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием $x \ge 0$ из-за наличия квадратного корня.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (6x - x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ в области $x \ge 0$:

$6 - \frac{3\sqrt{x}}{2} > 0$

$6 > \frac{3\sqrt{x}}{2}$

$12 > 3\sqrt{x}$

$4 > \sqrt{x}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$16 > x$, или $x < 16$.

Совмещая с областью определения $x \ge 0$, получаем итоговое решение: $0 \le x < 16$.

Ответ: $x \in [0, 16)$.

6) Дана функция $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1-3x}$.

Сначала упростим выражение под корнем: $x+1-3x = 1-2x$. Таким образом, функция имеет вид $f(x) = (x+1)\sqrt{1-2x}$.

Область определения функции задается условием $1 - 2x \ge 0$, откуда $1 \ge 2x$, то есть $x \le \frac{1}{2}$.

Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Пусть $u = x+1$ и $v = \sqrt{1-2x}$. Тогда $u' = 1$ и $v' = (\sqrt{1-2x})' = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} \cdot (1-2x)' = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$.

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + (x+1) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right) = \sqrt{1-2x} - \frac{x+1}{\sqrt{1-2x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{1-2x})^2 - (x+1)}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x - x - 1}{\sqrt{1-2x}} = \frac{-3x}{\sqrt{1-2x}}$.

Производная определена при $1-2x > 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{-3x}{\sqrt{1-2x}} > 0$.

Знаменатель $\sqrt{1-2x}$ положителен в области определения производной ($x < \frac{1}{2}$). Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$-3x > 0$

Разделив на -3, меняем знак неравенства:

$x < 0$.

Пересечение этого решения с областью определения ($x \le \frac{1}{2}$) дает $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.