Номер 216, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 216, страница 89.
№216 (с. 89)
Условие. №216 (с. 89)
скриншот условия

216. Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:
1) $f(x) = e^x - x;$
2) $f(x) = 6x + \cos 3x;$
3) $f(x) = \ln x - x;$
4) $f(x) = x - 2\ln x;$
5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x};$
6) $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1} - 3x.$
Решение 1. №216 (с. 89)






Решение 2. №216 (с. 89)


Решение 3. №216 (с. 89)
1) Дана функция $f(x) = e^x - x$.
Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$e^x - 1 > 0$
$e^x > 1$
Поскольку $1 = e^0$, получаем $e^x > e^0$.
Так как показательная функция $y=e^x$ является строго возрастающей, неравенство равносильно $x > 0$.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.
2) Дана функция $f(x) = 6x + \cos(3x)$.
Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (6x + \cos(3x))' = (6x)' + (\cos(3x))' = 6 - \sin(3x) \cdot 3 = 6 - 3\sin(3x)$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$6 - 3\sin(3x) > 0$
$6 > 3\sin(3x)$
$2 > \sin(3x)$
Область значений функции синус: $[-1, 1]$. Это означает, что $\sin(3x) \le 1$ для любого действительного значения $x$.
Поскольку $1 < 2$, неравенство $\sin(3x) < 2$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.
3) Дана функция $f(x) = \ln x - x$.
Область определения функции задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\ln x - x)' = (\ln x)' - (x)' = \frac{1}{x} - 1$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ с учетом области определения:
$\frac{1}{x} - 1 > 0$
$\frac{1}{x} > 1$
Так как из области определения $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства:
$1 > x$, или $x < 1$.
Совмещая с областью определения $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.
4) Дана функция $f(x) = x - 2\ln x$.
Область определения функции задается условием $x > 0$ из-за наличия логарифма.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x - 2\ln x)' = (x)' - (2\ln x)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ в области $x > 0$:
$1 - \frac{2}{x} > 0$
$1 > \frac{2}{x}$
Поскольку $x > 0$, умножаем обе части на $x$:
$x > 2$.
Это решение удовлетворяет условию $x > 0$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.
5) Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.
Область определения функции задается условием $x \ge 0$ из-за наличия квадратного корня.
Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (6x - x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ в области $x \ge 0$:
$6 - \frac{3\sqrt{x}}{2} > 0$
$6 > \frac{3\sqrt{x}}{2}$
$12 > 3\sqrt{x}$
$4 > \sqrt{x}$
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:
$16 > x$, или $x < 16$.
Совмещая с областью определения $x \ge 0$, получаем итоговое решение: $0 \le x < 16$.
Ответ: $x \in [0, 16)$.
6) Дана функция $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1-3x}$.
Сначала упростим выражение под корнем: $x+1-3x = 1-2x$. Таким образом, функция имеет вид $f(x) = (x+1)\sqrt{1-2x}$.
Область определения функции задается условием $1 - 2x \ge 0$, откуда $1 \ge 2x$, то есть $x \le \frac{1}{2}$.
Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
Пусть $u = x+1$ и $v = \sqrt{1-2x}$. Тогда $u' = 1$ и $v' = (\sqrt{1-2x})' = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} \cdot (1-2x)' = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$.
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + (x+1) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right) = \sqrt{1-2x} - \frac{x+1}{\sqrt{1-2x}}$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{1-2x})^2 - (x+1)}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x - x - 1}{\sqrt{1-2x}} = \frac{-3x}{\sqrt{1-2x}}$.
Производная определена при $1-2x > 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{-3x}{\sqrt{1-2x}} > 0$.
Знаменатель $\sqrt{1-2x}$ положителен в области определения производной ($x < \frac{1}{2}$). Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:
$-3x > 0$
Разделив на -3, меняем знак неравенства:
$x < 0$.
Пересечение этого решения с областью определения ($x \le \frac{1}{2}$) дает $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 216 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №216 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.