Номер 221, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 221, страница 90.

Условие.

221. Найти производную функции $f(x) = \ln(x^2 + 5x + 6)$ при $x < -3$ и при $x > -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти производную функции $f(x) = \ln(x^2 + 5x + 6)$, сначала определим ее область определения. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, поэтому необходимо решить неравенство:

$x^2 + 5x + 6 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями. Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)$. Это подтверждает, что функция определена на интервалах, указанных в задании.

Теперь найдем производную. Функция является сложной, вида $f(x) = \ln(u(x))$, где внутренняя функция $u(x) = x^2 + 5x + 6$. Производная такой функции находится по правилу:

$f'(x) = (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^2 + 5x + 6)' = 2x + 5$

Подставив $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу, получим общее выражение для производной:

$f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$

Эта формула верна на всей области определения функции.

при $x < -3$

На данном интервале производная функции вычисляется по общей формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$

при $x > -2$

На данном интервале производная функции вычисляется по той же самой формуле.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$