Номер 218, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 218, страница 89.

Условие.

218. Найти значения производной функции $f(x)$ в точках, в которых значение этой функции равно 0, если:

1) $f(x) = e^{2x} \ln(2x - 1)$;

2) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Заданная функция $f(x) = e^{2x} \ln(2x - 1)$.
Первым шагом найдем точки, в которых значение функции равно нулю. Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = 0$: $e^{2x} \ln(2x - 1) = 0$.
Поскольку множитель $e^{2x}$ всегда строго положителен ($e^{2x} > 0$ для любого действительного $x$), равенство может выполняться только в том случае, если второй множитель равен нулю: $\ln(2x - 1) = 0$.
Натуральный логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице: $2x - 1 = 1$.
Отсюда находим $x$: $2x = 2$, $x = 1$.
При этом необходимо учесть область определения функции, которая задается условием $2x - 1 > 0$, то есть $x > 1/2$. Найденное значение $x = 1$ удовлетворяет этому условию.
Вторым шагом найдем производную функции $f(x)$. Так как функция представляет собой произведение двух функций, $u(x) = e^{2x}$ и $v(x) = \ln(2x-1)$, воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (e^{2x})' \cdot \ln(2x - 1) + e^{2x} \cdot (\ln(2x - 1))'$.
Найдем производные составляющих функций: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$. $(\ln(2x - 1))' = \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' = \frac{2}{2x-1}$.
Подставим их в формулу для производной $f'(x)$: $f'(x) = 2e^{2x} \ln(2x - 1) + e^{2x} \frac{2}{2x - 1}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 2e^{2 \cdot 1} \ln(2 \cdot 1 - 1) + e^{2 \cdot 1} \frac{2}{2 \cdot 1 - 1} = 2e^2 \ln(1) + e^2 \frac{2}{1}$.
Так как $\ln(1) = 0$, получаем: $f'(1) = 2e^2 \cdot 0 + 2e^2 = 2e^2$.
Ответ: $2e^2$.

2) Заданная функция $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x}$.
Сначала найдем точки, в которых $f(x) = 0$. Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Решим уравнение $f(x) = 0$: $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $\sin x - \cos x = 0$.
$\sin x = \cos x$.
Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен $\pm 1$, что противоречит равенству $\sin x = \cos x$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$, $\tan x = 1$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$ знаменатель $\sin x$ не равен нулю ($\sin(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$), поэтому все найденные точки входят в область определения.
Теперь найдем производную функции $f(x)$. Для удобства сначала упростим выражение для $f(x)$: $f(x) = \frac{\sin x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = 1 - \cot x$.
Производная этой функции: $f'(x) = (1 - \cot x)' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Вычислим значение производной в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Для этого найдем значение $\sin^2 x$ в этих точках: $\sin^2(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\pi k) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\pi k)\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^k + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0\right)^2 = \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, значение $\sin^2 x$ одинаково для всех найденных точек. Подставим это значение в выражение для производной: $f'(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \frac{1}{1/2} = 2$.
Ответ: 2.