Номер 217, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 217, страница 89.

Условие.

217. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции f(x) равно 0, если:

1) $f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2} \cos 5x$;

2) $f(x) = 1 - \cos 2x + \sin x - \cos x - x$.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2}\cos(5x)$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем саму производную $f'(x)$.

Используя правила дифференцирования суммы и производных тригонометрических функций, получаем:

$f'(x) = (5\sin x - 5\cos x + \sqrt{2}\cos(5x))'$

$f'(x) = 5(\sin x)' - 5(\cos x)' + \sqrt{2}(\cos(5x))'$

$f'(x) = 5\cos x - 5(-\sin x) + \sqrt{2}(-\sin(5x) \cdot (5x)')$

$f'(x) = 5\cos x + 5\sin x - 5\sqrt{2}\sin(5x)$

Теперь приравняем производную к нулю:

$5\cos x + 5\sin x - 5\sqrt{2}\sin(5x) = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\cos x + \sin x - \sqrt{2}\sin(5x) = 0$

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(5x)$

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin(5x)$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$:

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\sin(5x)$

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin(5x)$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin(5x)$

Решение этого тригонометрического уравнения распадается на два случая (где $n \in \mathbb{Z}$):

1) $x + \frac{\pi}{4} = 5x + 2\pi n$

$4x = \frac{\pi}{4} - 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi n}{2}$. Поскольку $n$ — любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $k$, где $k$ также любое целое число.

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - 5x + 2\pi n$

$6x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = 1 - \cos(2x) + \sin x - \cos x - x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (1 - \cos(2x) + \sin x - \cos x - x)'$

$f'(x) = 0 - (-\sin(2x) \cdot 2) + \cos x - (-\sin x) - 1$

$f'(x) = 2\sin(2x) + \cos x + \sin x - 1$

Приравняем производную к нулю:

$2\sin(2x) + \cos x + \sin x - 1 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2(2\sin x \cos x) + (\sin x + \cos x) - 1 = 0$

$4\sin x \cos x + (\sin x + \cos x) - 1 = 0$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим $2\sin x \cos x = t^2 - 1$, а значит $4\sin x \cos x = 2(t^2 - 1) = 2t^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(2t^2 - 2) + t - 1 = 0$

$2t^2 + t - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

Случай 1: $t = 1$

$\sin x + \cos x = 1$

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$, откуда $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Это уравнение имеет две серии решений ($n \in \mathbb{Z}$):

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Случай 2: $t = -3/2$

$\sin x + \cos x = -1.5$

Область значений функции $y = \sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-1.5$ не входит в эту область значений (поскольку $-1.5 < -\sqrt{2}$).

Следовательно, в этом случае уравнение не имеет решений.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только те, что получены в первом случае.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.