Номер 214, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 214, страница 89.

Условие.

214. 1) $\frac{e^x - e^{-x}}{x}$;

2) $\frac{2^x - \log_2 x}{x \ln 2}$;

3) $\frac{\sin x - \cos x}{x}$;

4) $\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Найдем производную функции $y = \frac{e^x - e^{-x}}{x}$.

Данная функция является частным двух функций: $u(x) = e^x - e^{-x}$ и $v(x) = x$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (e^x - e^{-x})' = (e^x)' - (e^{-x})' = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x}$

$v'(x) = (x)' = 1$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x - (e^x - e^{-x}) \cdot 1}{x^2}$

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{xe^x + xe^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2} = \frac{(x-1)e^x + (x+1)e^{-x}}{x^2}$

Ответ: $\frac{(x-1)e^x + (x+1)e^{-x}}{x^2}$

2)

Найдем производную функции $y = \frac{2^x - \log_2 x}{x \ln 2}$.

Это частное двух функций: $u(x) = 2^x - \log_2 x$ и $v(x) = x \ln 2$. Применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (2^x - \log_2 x)' = (2^x)' - (\log_2 x)' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}$

$v'(x) = (x \ln 2)' = \ln 2 \cdot (x)' = \ln 2$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\left(2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) - (2^x - \log_2 x)(\ln 2)}{(x \ln 2)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

Числитель = $(2^x \ln 2)(x \ln 2) - \left(\frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) - 2^x \ln 2 + (\log_2 x)(\ln 2)$

Числитель = $x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 1 - 2^x \ln 2 + \log_2 x \ln 2$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$, получаем $\log_2 x \ln 2 = \ln x$.

Числитель = $x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 - 1 + \ln x$

Таким образом, производная равна:

$y' = \frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$

Ответ: $\frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$

3)

Найдем производную функции $y = \frac{\sin x - \cos x}{x}$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного для функций $u(x) = \sin x - \cos x$ и $v(x) = x$.

Найдем производные:

$u'(x) = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x - (\sin x - \cos x) \cdot 1}{x^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} = \frac{(x+1)\cos x + (x-1)\sin x}{x^2}$

Ответ: $\frac{(x+1)\cos x + (x-1)\sin x}{x^2}$

4)

Найдем производную функции $y = \frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.

Прежде чем дифференцировать, упростим выражение. Используем тригонометрические тождества:

$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Подставим эти тождества в числитель:

$1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$

Теперь подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x}$

При условии, что $\sin x - \cos x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ - целое число), мы можем сократить дробь:

$y = \sin x - \cos x$

Теперь найти производную этой упрощенной функции гораздо легче:

$y' = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$

Производная существует на той же области определения, что и исходная функция.

Ответ: $\cos x + \sin x$