Номер 214, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 214, страница 89.
№214 (с. 89)
Условие. №214 (с. 89)
скриншот условия

214. 1) $\frac{e^x - e^{-x}}{x}$;
2) $\frac{2^x - \log_2 x}{x \ln 2}$;
3) $\frac{\sin x - \cos x}{x}$;
4) $\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.
Решение 1. №214 (с. 89)




Решение 2. №214 (с. 89)

Решение 3. №214 (с. 89)
Найдем производную функции $y = \frac{e^x - e^{-x}}{x}$.
Данная функция является частным двух функций: $u(x) = e^x - e^{-x}$ и $v(x) = x$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:
$u'(x) = (e^x - e^{-x})' = (e^x)' - (e^{-x})' = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x}$
$v'(x) = (x)' = 1$
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x - (e^x - e^{-x}) \cdot 1}{x^2}$
Упростим полученное выражение:
$y' = \frac{xe^x + xe^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2} = \frac{(x-1)e^x + (x+1)e^{-x}}{x^2}$
Ответ: $\frac{(x-1)e^x + (x+1)e^{-x}}{x^2}$
2)Найдем производную функции $y = \frac{2^x - \log_2 x}{x \ln 2}$.
Это частное двух функций: $u(x) = 2^x - \log_2 x$ и $v(x) = x \ln 2$. Применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (2^x - \log_2 x)' = (2^x)' - (\log_2 x)' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}$
$v'(x) = (x \ln 2)' = \ln 2 \cdot (x)' = \ln 2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{\left(2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) - (2^x - \log_2 x)(\ln 2)}{(x \ln 2)^2}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
Числитель = $(2^x \ln 2)(x \ln 2) - \left(\frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) - 2^x \ln 2 + (\log_2 x)(\ln 2)$
Числитель = $x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 1 - 2^x \ln 2 + \log_2 x \ln 2$
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$, получаем $\log_2 x \ln 2 = \ln x$.
Числитель = $x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 - 1 + \ln x$
Таким образом, производная равна:
$y' = \frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$
Ответ: $\frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$
3)Найдем производную функции $y = \frac{\sin x - \cos x}{x}$.
Воспользуемся правилом дифференцирования частного для функций $u(x) = \sin x - \cos x$ и $v(x) = x$.
Найдем производные:
$u'(x) = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$
$v'(x) = (x)' = 1$
Применим формулу производной частного:
$y' = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x - (\sin x - \cos x) \cdot 1}{x^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} = \frac{(x+1)\cos x + (x-1)\sin x}{x^2}$
Ответ: $\frac{(x+1)\cos x + (x-1)\sin x}{x^2}$
4)Найдем производную функции $y = \frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.
Прежде чем дифференцировать, упростим выражение. Используем тригонометрические тождества:
$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
Подставим эти тождества в числитель:
$1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$
Теперь подставим это выражение обратно в исходную функцию:
$y = \frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x}$
При условии, что $\sin x - \cos x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ - целое число), мы можем сократить дробь:
$y = \sin x - \cos x$
Теперь найти производную этой упрощенной функции гораздо легче:
$y' = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$
Производная существует на той же области определения, что и исходная функция.
Ответ: $\cos x + \sin x$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 214 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №214 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.