Номер 208, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 208, страница 88.

Условие.

208. 1) $5^x$;

2) $4^x$;

3) $9^{x+2}$;

4) $7^{x-3}$;

5) $\log_5 x$;

6) $\log_4 x$;

7) $\lg(x-1)$;

8) $\lg(x+3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, наиболее вероятной задачей является нахождение области определения для каждой из предложенных функций (обозначается как $D(y)$).

1) Функция $y = 5^x$ является показательной. Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) определена для всех действительных значений аргумента $x$.

Таким образом, область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $y = 4^x$ также является показательной. Основание $4 > 0$ и $4 \neq 1$. Следовательно, функция определена для всех действительных значений $x$.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Функция $y = 9^{x+2}$ является показательной функцией. Выражение в показателе степени, $x+2$, определено для любого действительного числа $x$. Поэтому и вся функция определена для любого $x$.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = 7^{x-3}$ является показательной функцией. Выражение в показателе степени, $x-3$, определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, и вся функция определена для любого $x$.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

5) Функция $y = \log_5 x$ является логарифмической. Область определения логарифмической функции $y = \log_a z$ задается условием, что аргумент логарифма $z$ должен быть строго положительным.

В данном случае, аргумент равен $x$, поэтому должно выполняться неравенство $x > 0$.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

6) Функция $y = \log_4 x$ также является логарифмической. Аргумент логарифма $x$ должен быть строго больше нуля.

Следовательно, $x > 0$.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

7) Функция $y = \lg(x-1)$ является логарифмической (десятичный логарифм). Аргумент логарифма, в данном случае $x-1$, должен быть строго положительным.

Решим неравенство: $x - 1 > 0$.

Перенеся $-1$ в правую часть неравенства, получаем: $x > 1$.

Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

8) Функция $y = \lg(x+3)$ является логарифмической. Аргумент логарифма, $x+3$, должен быть строго положительным.

Решим неравенство: $x + 3 > 0$.

Перенеся $3$ в правую часть неравенства, получаем: $x > -3$.

Ответ: $D(y) = (-3; +\infty)$.