Номер 203, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 203, страница 88.

Условие.

203. 1) $\sqrt[4]{2-8x}$;

2) $\sqrt[3]{4x+1}$;

3) $\sqrt{3x+2}$;

4) $\frac{1}{\sqrt{4x+1}};

5) $\frac{7}{\sqrt[4]{3-8x}};

6) $\frac{7}{\sqrt[3]{2-9x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Данное выражение $\sqrt[4]{2-8x}$ содержит корень четной степени (четвертой). Функция корня четной степени определена только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Составим и решим соответствующее неравенство:
$2 - 8x \ge 0$

Перенесем 2 в правую часть неравенства, изменив знак:
$-8x \ge -2$

Разделим обе части неравенства на -8. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-2}{-8}$
$x \le \frac{1}{4}$

Таким образом, областью определения функции является числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}]$

2)

Данное выражение $\sqrt[3]{4x+1}$ содержит корень нечетной степени (третьей). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $4x+1$ является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

3)

Выражение $\sqrt{3x+2}$ является квадратным корнем, то есть корнем четной степени (второй). Как и в первом пункте, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:
$3x + 2 \ge 0$

$3x \ge -2$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Областью определения функции является промежуток $[-\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $[-\frac{2}{3}; +\infty)$

4)

В выражении $\frac{1}{\sqrt{4x+1}}$ корень четной степени находится в знаменателе. Это накладывает два ограничения:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4x+1 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{4x+1} \neq 0$.

Объединение этих двух условий дает одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$4x + 1 > 0$

Решим это неравенство:
$4x > -1$
$x > -\frac{1}{4}$

Областью определения функции является открытый луч $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$

5)

В выражении $\frac{7}{\sqrt[4]{3-8x}}$ корень четной степени (четвертой) также находится в знаменателе. Аналогично предыдущему заданию, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:
$3 - 8x > 0$

$-8x > -3$

Разделим на -8, меняя знак неравенства:
$x < \frac{-3}{-8}$
$x < \frac{3}{8}$

Областью определения функции является промежуток $(-\infty; \frac{3}{8})$.

Ответ: $(-\infty; \frac{3}{8})$

6)

Выражение $\frac{7}{\sqrt[3]{2-9x}}$ содержит корень нечетной степени в знаменателе. Корень нечетной степени сам по себе определен для любых действительных чисел.

Единственное ограничение — знаменатель не может быть равен нулю.
$\sqrt[3]{2-9x} \neq 0$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части в третью степень:
$(\sqrt[3]{2-9x})^3 \neq 0^3$
$2 - 9x \neq 0$

Решим это уравнение:
$-9x \neq -2$
$x \neq \frac{2}{9}$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = \frac{2}{9}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}; +\infty)$