Номер 206, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 206, страница 88.

Условие.

206. 1) $cos(1 - \frac{x}{2});$

2) $sin(2 - \frac{3x}{4});$

3) $sin\frac{x+3}{2};$

4) $cos\frac{1-x}{3};$

5) $cos\frac{4-5x}{3};$

6) $sin\frac{2x+3}{5};$

7) $sin^3 2x;$

8) $cos^4 3x;$

9) $ctg^2 4x;$

10) $tg^4 \frac{x}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\cos(1 - \frac{x}{2})$

Для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) функции $y = \cos(1 - \frac{x}{2})$ воспользуемся общей формулой интегрирования $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

В данном случае, аргумент косинуса равен $1 - \frac{x}{2}$, поэтому коэффициенты $k = -\frac{1}{2}$ и $b = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$\int \cos(1 - \frac{x}{2})dx = \frac{1}{-1/2}\sin(1 - \frac{x}{2}) + C = -2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$.

Проверить результат можно методом замены переменной. Пусть $u = 1 - \frac{x}{2}$, тогда $du = -\frac{1}{2}dx$, откуда $dx = -2du$.

$\int \cos(u)(-2du) = -2\int \cos(u)du = -2\sin(u) + C = -2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$.

Ответ: $-2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$

2) $\sin(2 - \frac{3x}{4})$

Находим первообразную для $y = \sin(2 - \frac{3x}{4})$. Используем общую формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.

Здесь $k = -\frac{3}{4}$ и $b = 2$.

$\int \sin(2 - \frac{3x}{4})dx = -\frac{1}{-3/4}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C = \frac{4}{3}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C$.

Ответ: $\frac{4}{3}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C$

3) $\sin\frac{x+3}{2}$

Находим первообразную для $y = \sin(\frac{x+3}{2}) = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})$.

Используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $k = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{3}{2}$.

$\int \sin(\frac{x+3}{2})dx = -\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x+3}{2}) + C = -2\cos(\frac{x+3}{2}) + C$.

Ответ: $-2\cos(\frac{x+3}{2}) + C$

4) $\cos\frac{1-x}{3}$

Находим первообразную для $y = \cos(\frac{1-x}{3}) = \cos(-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})$.

Используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{3}$.

$\int \cos(\frac{1-x}{3})dx = \frac{1}{-1/3}\sin(\frac{1-x}{3}) + C = -3\sin(\frac{1-x}{3}) + C$.

Ответ: $-3\sin(\frac{1-x}{3}) + C$

5) $\cos\frac{4-5x}{3}$

Находим первообразную для $y = \cos(\frac{4-5x}{3}) = \cos(-\frac{5}{3}x + \frac{4}{3})$.

Используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k = -\frac{5}{3}$ и $b = \frac{4}{3}$.

$\int \cos(\frac{4-5x}{3})dx = \frac{1}{-5/3}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C = -\frac{3}{5}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C$.

Ответ: $-\frac{3}{5}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C$

6) $\sin\frac{2x+3}{5}$

Находим первообразную для $y = \sin(\frac{2x+3}{5}) = \sin(\frac{2}{5}x + \frac{3}{5})$.

Используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $k = \frac{2}{5}$ и $b = \frac{3}{5}$.

$\int \sin(\frac{2x+3}{5})dx = -\frac{1}{2/5}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C = -\frac{5}{2}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C$.

Ответ: $-\frac{5}{2}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C$

7) $\sin^3 2x$

Для нахождения первообразной $y = \sin^3(2x)$ используем формулу понижения степени. Формула тройного угла для синуса: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. Отсюда выразим $\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$.

Пусть $\alpha = 2x$, тогда $\sin^3(2x) = \frac{3\sin(2x) - \sin(6x)}{4}$.

Теперь интегрируем это выражение:

$\int \sin^3(2x)dx = \int (\frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(6x))dx = \frac{3}{4}\int \sin(2x)dx - \frac{1}{4}\int \sin(6x)dx$

$= \frac{3}{4}(-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \frac{1}{4}(-\frac{1}{6}\cos(6x)) + C = -\frac{3}{8}\cos(2x) + \frac{1}{24}\cos(6x) + C$.

Ответ: $-\frac{3}{8}\cos(2x) + \frac{1}{24}\cos(6x) + C$

8) $\cos^4 3x$

Для нахождения первообразной $y = \cos^4(3x)$ воспользуемся формулами понижения степени. Сначала используем формулу для квадрата косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$\cos^4(3x) = (\cos^2(3x))^2 = (\frac{1+\cos(2 \cdot 3x)}{2})^2 = (\frac{1+\cos(6x)}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x))$.

Снова применяем формулу понижения степени для $\cos^2(6x)$:

$\cos^2(6x) = \frac{1+\cos(2 \cdot 6x)}{2} = \frac{1+\cos(12x)}{2}$.

Подставляем обратно в выражение:

$\cos^4(3x) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(6x) + \frac{1+\cos(12x)}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} + 2\cos(6x) + \frac{1}{2}\cos(12x)) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(6x) + \frac{1}{8}\cos(12x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \cos^4(3x)dx = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(6x) + \frac{1}{8}\cos(12x))dx$

$= \frac{3}{8}x + \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin(6x)) + \frac{1}{8}(\frac{1}{12}\sin(12x)) + C = \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C$.

Ответ: $\frac{3}{8}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C$

9) $\text{ctg}^2 4x$

Для нахождения первообразной $y = \text{ctg}^2(4x)$ используем тригонометрическое тождество $\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} - 1$.

Таким образом, $\text{ctg}^2(4x) = \frac{1}{\sin^2(4x)} - 1$.

Интегрируем это выражение:

$\int \text{ctg}^2(4x)dx = \int (\frac{1}{\sin^2(4x)} - 1)dx = \int \frac{dx}{\sin^2(4x)} - \int dx$.

Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(kx)}$ равна $-\frac{1}{k}\text{ctg}(kx)$. В нашем случае $k=4$.

Следовательно, $\int \text{ctg}^2(4x)dx = -\frac{1}{4}\text{ctg}(4x) - x + C$.

Ответ: $-\frac{1}{4}\text{ctg}(4x) - x + C$

10) $\text{tg}^4 \frac{x}{2}$

Для нахождения первообразной $y = \text{tg}^4(\frac{x}{2})$ преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

$\int \text{tg}^4(\frac{x}{2})dx = \int \text{tg}^2(\frac{x}{2}) \cdot \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx = \int \text{tg}^2(\frac{x}{2})(\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} - 1)dx$

$= \int (\frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})} - \text{tg}^2(\frac{x}{2}))dx = \int \frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}dx - \int \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx$.

Для первого интеграла сделаем замену $u = \text{tg}(\frac{x}{2})$. Тогда $du = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}dx$, откуда $\frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2})} = 2du$.

$\int \frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}dx = \int u^2(2du) = \frac{2}{3}u^3 + C_1 = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) + C_1$.

Второй интеграл: $\int \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx = \int (\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} - 1)dx = 2\text{tg}(\frac{x}{2}) - x + C_2$.

Собирая все вместе, получаем:

$\int \text{tg}^4(\frac{x}{2})dx = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - (2\text{tg}(\frac{x}{2}) - x) + C = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - 2\text{tg}(\frac{x}{2}) + x + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - 2\text{tg}(\frac{x}{2}) + x + C$