Номер 206, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 206, страница 88.
№206 (с. 88)
Условие. №206 (с. 88)
скриншот условия

206. 1) $cos(1 - \frac{x}{2});$
2) $sin(2 - \frac{3x}{4});$
3) $sin\frac{x+3}{2};$
4) $cos\frac{1-x}{3};$
5) $cos\frac{4-5x}{3};$
6) $sin\frac{2x+3}{5};$
7) $sin^3 2x;$
8) $cos^4 3x;$
9) $ctg^2 4x;$
10) $tg^4 \frac{x}{2}.$
Решение 1. №206 (с. 88)










Решение 2. №206 (с. 88)

Решение 3. №206 (с. 88)
1) $\cos(1 - \frac{x}{2})$
Для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) функции $y = \cos(1 - \frac{x}{2})$ воспользуемся общей формулой интегрирования $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.
В данном случае, аргумент косинуса равен $1 - \frac{x}{2}$, поэтому коэффициенты $k = -\frac{1}{2}$ и $b = 1$.
Применяя формулу, получаем:
$\int \cos(1 - \frac{x}{2})dx = \frac{1}{-1/2}\sin(1 - \frac{x}{2}) + C = -2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$.
Проверить результат можно методом замены переменной. Пусть $u = 1 - \frac{x}{2}$, тогда $du = -\frac{1}{2}dx$, откуда $dx = -2du$.
$\int \cos(u)(-2du) = -2\int \cos(u)du = -2\sin(u) + C = -2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$.
Ответ: $-2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$
2) $\sin(2 - \frac{3x}{4})$
Находим первообразную для $y = \sin(2 - \frac{3x}{4})$. Используем общую формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.
Здесь $k = -\frac{3}{4}$ и $b = 2$.
$\int \sin(2 - \frac{3x}{4})dx = -\frac{1}{-3/4}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C = \frac{4}{3}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C$.
Ответ: $\frac{4}{3}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C$
3) $\sin\frac{x+3}{2}$
Находим первообразную для $y = \sin(\frac{x+3}{2}) = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})$.
Используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $k = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{3}{2}$.
$\int \sin(\frac{x+3}{2})dx = -\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x+3}{2}) + C = -2\cos(\frac{x+3}{2}) + C$.
Ответ: $-2\cos(\frac{x+3}{2}) + C$
4) $\cos\frac{1-x}{3}$
Находим первообразную для $y = \cos(\frac{1-x}{3}) = \cos(-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})$.
Используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{3}$.
$\int \cos(\frac{1-x}{3})dx = \frac{1}{-1/3}\sin(\frac{1-x}{3}) + C = -3\sin(\frac{1-x}{3}) + C$.
Ответ: $-3\sin(\frac{1-x}{3}) + C$
5) $\cos\frac{4-5x}{3}$
Находим первообразную для $y = \cos(\frac{4-5x}{3}) = \cos(-\frac{5}{3}x + \frac{4}{3})$.
Используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k = -\frac{5}{3}$ и $b = \frac{4}{3}$.
$\int \cos(\frac{4-5x}{3})dx = \frac{1}{-5/3}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C = -\frac{3}{5}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C$.
Ответ: $-\frac{3}{5}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C$
6) $\sin\frac{2x+3}{5}$
Находим первообразную для $y = \sin(\frac{2x+3}{5}) = \sin(\frac{2}{5}x + \frac{3}{5})$.
Используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $k = \frac{2}{5}$ и $b = \frac{3}{5}$.
$\int \sin(\frac{2x+3}{5})dx = -\frac{1}{2/5}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C = -\frac{5}{2}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C$.
Ответ: $-\frac{5}{2}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C$
7) $\sin^3 2x$
Для нахождения первообразной $y = \sin^3(2x)$ используем формулу понижения степени. Формула тройного угла для синуса: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. Отсюда выразим $\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$.
Пусть $\alpha = 2x$, тогда $\sin^3(2x) = \frac{3\sin(2x) - \sin(6x)}{4}$.
Теперь интегрируем это выражение:
$\int \sin^3(2x)dx = \int (\frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(6x))dx = \frac{3}{4}\int \sin(2x)dx - \frac{1}{4}\int \sin(6x)dx$
$= \frac{3}{4}(-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \frac{1}{4}(-\frac{1}{6}\cos(6x)) + C = -\frac{3}{8}\cos(2x) + \frac{1}{24}\cos(6x) + C$.
Ответ: $-\frac{3}{8}\cos(2x) + \frac{1}{24}\cos(6x) + C$
8) $\cos^4 3x$
Для нахождения первообразной $y = \cos^4(3x)$ воспользуемся формулами понижения степени. Сначала используем формулу для квадрата косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.
$\cos^4(3x) = (\cos^2(3x))^2 = (\frac{1+\cos(2 \cdot 3x)}{2})^2 = (\frac{1+\cos(6x)}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x))$.
Снова применяем формулу понижения степени для $\cos^2(6x)$:
$\cos^2(6x) = \frac{1+\cos(2 \cdot 6x)}{2} = \frac{1+\cos(12x)}{2}$.
Подставляем обратно в выражение:
$\cos^4(3x) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(6x) + \frac{1+\cos(12x)}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} + 2\cos(6x) + \frac{1}{2}\cos(12x)) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(6x) + \frac{1}{8}\cos(12x)$.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int \cos^4(3x)dx = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(6x) + \frac{1}{8}\cos(12x))dx$
$= \frac{3}{8}x + \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin(6x)) + \frac{1}{8}(\frac{1}{12}\sin(12x)) + C = \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C$.
Ответ: $\frac{3}{8}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C$
9) $\text{ctg}^2 4x$
Для нахождения первообразной $y = \text{ctg}^2(4x)$ используем тригонометрическое тождество $\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} - 1$.
Таким образом, $\text{ctg}^2(4x) = \frac{1}{\sin^2(4x)} - 1$.
Интегрируем это выражение:
$\int \text{ctg}^2(4x)dx = \int (\frac{1}{\sin^2(4x)} - 1)dx = \int \frac{dx}{\sin^2(4x)} - \int dx$.
Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(kx)}$ равна $-\frac{1}{k}\text{ctg}(kx)$. В нашем случае $k=4$.
Следовательно, $\int \text{ctg}^2(4x)dx = -\frac{1}{4}\text{ctg}(4x) - x + C$.
Ответ: $-\frac{1}{4}\text{ctg}(4x) - x + C$
10) $\text{tg}^4 \frac{x}{2}$
Для нахождения первообразной $y = \text{tg}^4(\frac{x}{2})$ преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.
$\int \text{tg}^4(\frac{x}{2})dx = \int \text{tg}^2(\frac{x}{2}) \cdot \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx = \int \text{tg}^2(\frac{x}{2})(\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} - 1)dx$
$= \int (\frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})} - \text{tg}^2(\frac{x}{2}))dx = \int \frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}dx - \int \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx$.
Для первого интеграла сделаем замену $u = \text{tg}(\frac{x}{2})$. Тогда $du = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}dx$, откуда $\frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2})} = 2du$.
$\int \frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}dx = \int u^2(2du) = \frac{2}{3}u^3 + C_1 = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) + C_1$.
Второй интеграл: $\int \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx = \int (\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} - 1)dx = 2\text{tg}(\frac{x}{2}) - x + C_2$.
Собирая все вместе, получаем:
$\int \text{tg}^4(\frac{x}{2})dx = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - (2\text{tg}(\frac{x}{2}) - x) + C = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - 2\text{tg}(\frac{x}{2}) + x + C$.
Ответ: $\frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - 2\text{tg}(\frac{x}{2}) + x + C$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 206 расположенного на странице 88 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №206 (с. 88), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.