Номер 202, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 202, страница 88.

Условие.

202. 1) $(3x + 1)^5;$

2) $(5x - 4)^6;$

3) $(1 - 3x)^7;$

4) $\frac{4}{(3x - 1)^2};$

5) $\frac{1}{(2 - 3x)^4};$

6) $\frac{1}{(4 - 3x)^5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения всех задач используется общая формула нахождения первообразной для функции вида $y=(kx+b)^n$, где $k$ и $b$ - постоянные, а $n \ne -1$. Первообразная (неопределенный интеграл) находится по формуле:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

1) Найти первообразную для функции $(3x+1)^5$.

Вычисляем интеграл $\int (3x+1)^5 dx$.

В данном случае $k=3$, $b=1$, $n=5$. Применяем формулу:

$\int (3x+1)^5 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{5+1}}{5+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^6}{6} + C = \frac{(3x+1)^6}{18} + C$.

Ответ: $\frac{(3x+1)^6}{18} + C$

2) Найти первообразную для функции $(5x-4)^6$.

Вычисляем интеграл $\int (5x-4)^6 dx$.

Здесь $k=5$, $b=-4$, $n=6$.

$\int (5x-4)^6 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-4)^{6+1}}{6+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-4)^7}{7} + C = \frac{(5x-4)^7}{35} + C$.

Ответ: $\frac{(5x-4)^7}{35} + C$

3) Найти первообразную для функции $(1-3x)^7$.

Вычисляем интеграл $\int (1-3x)^7 dx$.

Здесь $k=-3$, $b=1$, $n=7$.

$\int (1-3x)^7 dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(1-3x)^{7+1}}{7+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1-3x)^8}{8} + C = -\frac{(1-3x)^8}{24} + C$.

Ответ: $-\frac{(1-3x)^8}{24} + C$

4) Найти первообразную для функции $\frac{4}{(3x-1)^2}$.

Сначала представим функцию в виде степени: $4(3x-1)^{-2}$.

Вычисляем интеграл $\int 4(3x-1)^{-2} dx = 4\int (3x-1)^{-2} dx$.

Здесь $k=3$, $b=-1$, $n=-2$.

$4\int (3x-1)^{-2} dx = 4 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = 4 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{-1}}{-1}\right) + C = -\frac{4}{3}(3x-1)^{-1} + C = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$.

Ответ: $-\frac{4}{3(3x-1)} + C$

5) Найти первообразную для функции $\frac{1}{(2-3x)^4}$.

Представим функцию в виде степени: $(2-3x)^{-4}$.

Вычисляем интеграл $\int (2-3x)^{-4} dx$.

Здесь $k=-3$, $b=2$, $n=-4$.

$\int (2-3x)^{-4} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2-3x)^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2-3x)^{-3}}{-3} + C = \frac{(2-3x)^{-3}}{9} + C = \frac{1}{9(2-3x)^3} + C$.

Ответ: $\frac{1}{9(2-3x)^3} + C$

6) Найти первообразную для функции $\frac{1}{(4-3x)^5}$.

Представим функцию в виде степени: $(4-3x)^{-5}$.

Вычисляем интеграл $\int (4-3x)^{-5} dx$.

Здесь $k=-3$, $b=4$, $n=-5$.

$\int (4-3x)^{-5} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(4-3x)^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(4-3x)^{-4}}{-4} + C = \frac{(4-3x)^{-4}}{12} + C = \frac{1}{12(4-3x)^4} + C$.

Ответ: $\frac{1}{12(4-3x)^4} + C$