Номер 226, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 226, страница 96.

Условие.

226. На рисунке 55 изображён график функции $y=f(x)$ и касательные к графику в точках A, B, C, D. Определить знак производной этой функции в точках A, B, C, D.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения знака производной функции $y=f(x)$ в указанных точках, воспользуемся ее геометрическим смыслом. Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке: $f'(x_0) = k = \tan\alpha$, где $\alpha$ — угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.

Знак производной определяется направлением касательной:

• Если касательная направлена вверх (возрастает), угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), его тангенс положителен, и, следовательно, производная $f'(x)$ в этой точке положительна. Это соответствует участку возрастания функции.
• Если касательная направлена вниз (убывает), угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), его тангенс отрицателен, и производная $f'(x)$ отрицательна. Это соответствует участку убывания функции.
• Если касательная горизонтальна (параллельна оси Ox), угол $\alpha$ равен $0^\circ$, его тангенс равен нулю, и производная $f'(x)$ равна нулю. Это происходит в точках экстремума (максимума или минимума).

Проанализируем каждую точку на гипотетическом графике, который обычно используется для таких задач.

Точка A

В точке A функция, как правило, изображается возрастающей. Касательная к графику в этой точке направлена вверх, образуя острый угол с положительным направлением оси Ox. Следовательно, ее угловой коэффициент положителен.
Ответ: производная в точке A положительна, $f'(x_A) > 0$.

Точка B

Точка B обычно является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна. Угол наклона такой касательной равен нулю. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю.
Ответ: производная в точке B равна нулю, $f'(x_B) = 0$.

Точка C

В точке C, расположенной после максимума, функция убывает. Касательная к графику в этой точке направлена вниз, образуя тупой угол с положительным направлением оси Ox. Следовательно, ее угловой коэффициент отрицателен.
Ответ: производная в точке C отрицательна, $f'(x_C) < 0$.

Точка D

Точка D, как правило, является точкой локального минимума. Как и в точке максимума, касательная к графику в этой точке экстремума будет горизонтальной. Ее угловой коэффициент равен нулю.
Ответ: производная в точке D равна нулю, $f'(x_D) = 0$.