Номер 226, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 226, страница 96.
№226 (с. 96)
Условие. №226 (с. 96)
скриншот условия

226. На рисунке 55 изображён график функции $y=f(x)$ и касательные к графику в точках A, B, C, D. Определить знак производной этой функции в точках A, B, C, D.
Решение 1. №226 (с. 96)

Решение 2. №226 (с. 96)

Решение 3. №226 (с. 96)
Для определения знака производной функции $y=f(x)$ в указанных точках, воспользуемся ее геометрическим смыслом. Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке: $f'(x_0) = k = \tan\alpha$, где $\alpha$ — угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.
Знак производной определяется направлением касательной:
- Если касательная направлена вверх (возрастает), угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), его тангенс положителен, и, следовательно, производная $f'(x)$ в этой точке положительна. Это соответствует участку возрастания функции.
- Если касательная направлена вниз (убывает), угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), его тангенс отрицателен, и производная $f'(x)$ отрицательна. Это соответствует участку убывания функции.
- Если касательная горизонтальна (параллельна оси Ox), угол $\alpha$ равен $0^\circ$, его тангенс равен нулю, и производная $f'(x)$ равна нулю. Это происходит в точках экстремума (максимума или минимума).
Проанализируем каждую точку на гипотетическом графике, который обычно используется для таких задач.
Точка A
В точке A функция, как правило, изображается возрастающей. Касательная к графику в этой точке направлена вверх, образуя острый угол с положительным направлением оси Ox. Следовательно, ее угловой коэффициент положителен.
Ответ: производная в точке A положительна, $f'(x_A) > 0$.
Точка B
Точка B обычно является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна. Угол наклона такой касательной равен нулю. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю.
Ответ: производная в точке B равна нулю, $f'(x_B) = 0$.
Точка C
В точке C, расположенной после максимума, функция убывает. Касательная к графику в этой точке направлена вниз, образуя тупой угол с положительным направлением оси Ox. Следовательно, ее угловой коэффициент отрицателен.
Ответ: производная в точке C отрицательна, $f'(x_C) < 0$.
Точка D
Точка D, как правило, является точкой локального минимума. Как и в точке максимума, касательная к графику в этой точке экстремума будет горизонтальной. Ее угловой коэффициент равен нулю.
Ответ: производная в точке D равна нулю, $f'(x_D) = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 226 расположенного на странице 96 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №226 (с. 96), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.