Номер 230, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 230, страница 97.

Условие.

230. Под каким углом пересекаются графики функций (угол между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

1) $y=8-x$ и $y=4\sqrt{x+4}$;

2) $y=\frac{1}{2}(1+x)^2$ и $y=\frac{1}{2}(1-x)^2$;

3) $y=\ln(1+x)$ и $y=\ln(1-x)$;

4) $y=e^x$ и $y=e^{-x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между кривыми в точке их пересечения — это угол между касательными к кривым в этой точке. Угол $\phi$ между касательными с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле $\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|$. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению ее производной $f'(x_0)$. Если произведение угловых коэффициентов $k_1 \cdot k_2 = -1$, то касательные перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

1)

Даны функции $y = 8 - x$ и $y = 4\sqrt{x+4}$.

Сначала найдем точку пересечения графиков. Для этого приравняем правые части уравнений:

$8 - x = 4\sqrt{x+4}$

Определим область допустимых значений. Для корня необходимо, чтобы $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Также, поскольку правая часть неотрицательна, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $8 - x \ge 0$, то есть $x \le 8$. Таким образом, искомое значение $x$ должно лежать в промежутке $[-4, 8]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(8 - x)^2 = (4\sqrt{x+4})^2$

$64 - 16x + x^2 = 16(x+4)$

$x^2 - 16x + 64 = 16x + 64$

$x^2 - 32x = 0$

$x(x-32) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 32$. Корень $x_2 = 32$ не удовлетворяет условию $x \le 8$, поэтому он является посторонним. Единственная точка пересечения имеет абсциссу $x_0 = 0$.

Найдем производные данных функций:

Для $y_1 = 8 - x$, производная $y_1' = -1$.

Для $y_2 = 4\sqrt{x+4}$, производная $y_2' = 4 \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x+4}}) = \frac{2}{\sqrt{x+4}}$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты касательных в точке пересечения $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = -1$.

$k_2 = y_2'(0) = \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим условие перпендикулярности касательных: $k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, касательные перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2)

Даны функции $y = \frac{1}{2}(1+x)^2$ и $y = \frac{1}{2}(1-x)^2$.

Найдем точку пересечения:

$\frac{1}{2}(1+x)^2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$

$(1+x)^2 = (1-x)^2$

$1 + 2x + x^2 = 1 - 2x + x^2$

$4x = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = \frac{1}{2}(1+x)^2$, производная $y_1' = \frac{1}{2} \cdot 2(1+x) \cdot 1 = 1+x$.

Для $y_2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$, производная $y_2' = \frac{1}{2} \cdot 2(1-x) \cdot (-1) = -(1-x) = x-1$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = 1+0 = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = 0-1 = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3)

Даны функции $y = \ln(1+x)$ и $y = \ln(1-x)$.

Найдем точку пересечения. Область определения: $1+x>0 \implies x>-1$ и $1-x>0 \implies x<1$, т.е. $x \in (-1, 1)$.

$\ln(1+x) = \ln(1-x)$

$1+x = 1-x$

$2x = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = \ln(1+x)$, производная $y_1' = \frac{1}{1+x}$.

Для $y_2 = \ln(1-x)$, производная $y_2' = \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1-x}$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = -\frac{1}{1-0} = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

4)

Даны функции $y = e^x$ и $y = e^{-x}$.

Найдем точку пересечения:

$e^x = e^{-x}$

$e^x = \frac{1}{e^x}$

$e^{2x} = 1$

$2x = \ln(1) = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = e^x$, производная $y_1' = e^x$.

Для $y_2 = e^{-x}$, производная $y_2' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = e^0 = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = -e^{-0} = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.