Номер 230, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 230, страница 97.

№230 (с. 97)
Условие. №230 (с. 97)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Условие

230. Под каким углом пересекаются графики функций (угол между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

1) $y=8-x$ и $y=4\sqrt{x+4}$;

2) $y=\frac{1}{2}(1+x)^2$ и $y=\frac{1}{2}(1-x)^2$;

3) $y=\ln(1+x)$ и $y=\ln(1-x)$;

4) $y=e^x$ и $y=e^{-x}$?

Решение 1. №230 (с. 97)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №230 (с. 97)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 97, номер 230, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №230 (с. 97)

Угол между кривыми в точке их пересечения — это угол между касательными к кривым в этой точке. Угол $\phi$ между касательными с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле $\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|$. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению ее производной $f'(x_0)$. Если произведение угловых коэффициентов $k_1 \cdot k_2 = -1$, то касательные перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

1)

Даны функции $y = 8 - x$ и $y = 4\sqrt{x+4}$.

Сначала найдем точку пересечения графиков. Для этого приравняем правые части уравнений:

$8 - x = 4\sqrt{x+4}$

Определим область допустимых значений. Для корня необходимо, чтобы $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Также, поскольку правая часть неотрицательна, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $8 - x \ge 0$, то есть $x \le 8$. Таким образом, искомое значение $x$ должно лежать в промежутке $[-4, 8]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(8 - x)^2 = (4\sqrt{x+4})^2$

$64 - 16x + x^2 = 16(x+4)$

$x^2 - 16x + 64 = 16x + 64$

$x^2 - 32x = 0$

$x(x-32) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 32$. Корень $x_2 = 32$ не удовлетворяет условию $x \le 8$, поэтому он является посторонним. Единственная точка пересечения имеет абсциссу $x_0 = 0$.

Найдем производные данных функций:

Для $y_1 = 8 - x$, производная $y_1' = -1$.

Для $y_2 = 4\sqrt{x+4}$, производная $y_2' = 4 \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x+4}}) = \frac{2}{\sqrt{x+4}}$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты касательных в точке пересечения $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = -1$.

$k_2 = y_2'(0) = \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим условие перпендикулярности касательных: $k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, касательные перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2)

Даны функции $y = \frac{1}{2}(1+x)^2$ и $y = \frac{1}{2}(1-x)^2$.

Найдем точку пересечения:

$\frac{1}{2}(1+x)^2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$

$(1+x)^2 = (1-x)^2$

$1 + 2x + x^2 = 1 - 2x + x^2$

$4x = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = \frac{1}{2}(1+x)^2$, производная $y_1' = \frac{1}{2} \cdot 2(1+x) \cdot 1 = 1+x$.

Для $y_2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$, производная $y_2' = \frac{1}{2} \cdot 2(1-x) \cdot (-1) = -(1-x) = x-1$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = 1+0 = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = 0-1 = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3)

Даны функции $y = \ln(1+x)$ и $y = \ln(1-x)$.

Найдем точку пересечения. Область определения: $1+x>0 \implies x>-1$ и $1-x>0 \implies x<1$, т.е. $x \in (-1, 1)$.

$\ln(1+x) = \ln(1-x)$

$1+x = 1-x$

$2x = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = \ln(1+x)$, производная $y_1' = \frac{1}{1+x}$.

Для $y_2 = \ln(1-x)$, производная $y_2' = \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1-x}$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = -\frac{1}{1-0} = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

4)

Даны функции $y = e^x$ и $y = e^{-x}$.

Найдем точку пересечения:

$e^x = e^{-x}$

$e^x = \frac{1}{e^x}$

$e^{2x} = 1$

$2x = \ln(1) = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = e^x$, производная $y_1' = e^x$.

Для $y_2 = e^{-x}$, производная $y_2' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = e^0 = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = -e^{-0} = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 230 расположенного на странице 97 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №230 (с. 97), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.