Номер 237, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 237, страница 98.

Условие.

Найти производную функции (237–241).

237. 1) $2x^4 - x^3 + 3x + 4$;

2) $-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$;

3) $6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$;

4) $\frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x}$;

5) $(2x + 3)^8$;

6) $(4 - 3x)^7$;

7) $\sqrt[3]{3x - 2}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}}$;

9) $\sin 0,5x$;

10) $\cos(-3x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = 2x^4 - x^3 + 3x + 4$ используем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.
$y' = (2x^4 - x^3 + 3x + 4)' = (2x^4)' - (x^3)' + (3x)' + (4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - 3x^{3-1} + 3 \cdot 1 - 0 = 8x^3 - 3x^2 + 3$.
Ответ: $8x^3 - 3x^2 + 3$.

2) Для функции $y = -x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$ применяем те же правила, что и в предыдущем пункте.
$y' = (-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1)' = (-x^5)' + (2x^3)' - (3x^2)' - (1)' = -5x^{5-1} + 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 0 = -5x^4 + 6x^2 - 6x$.
Ответ: $-5x^4 + 6x^2 - 6x$.

3) Для функции $y = 6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$ сначала представим ее в виде степенных функций: $y = 6x^{1/3} + x^{-2}$.
Теперь находим производную по правилу для степенной функции:
$y' = (6x^{1/3} + x^{-2})' = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} + (-2)x^{-2-1} = 2x^{-2/3} - 2x^{-3}$.
Возвращаемся к исходной форме записи: $y' = \frac{2}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$.
Ответ: $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$.

4) Функцию $y = \frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x}$ также представим в виде степенных функций: $y = 2x^{-3} - 8x^{1/4}$.
Находим производную:
$y' = (2x^{-3} - 8x^{1/4})' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} - 8 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = -6x^{-4} - 2x^{-3/4}$.
Преобразуем к исходному виду: $y' = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{x^{3/4}} = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $-\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.

5) Для нахождения производной сложной функции $y = (2x + 3)^8$ используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Здесь внешняя функция $f(u)=u^8$, а внутренняя $g(x)=2x+3$.
$y' = 8(2x+3)^{8-1} \cdot (2x+3)' = 8(2x+3)^7 \cdot 2 = 16(2x+3)^7$.
Ответ: $16(2x+3)^7$.

6) Для функции $y = (4 - 3x)^7$ также применяем цепное правило.
Внешняя функция $f(u)=u^7$, внутренняя $g(x)=4-3x$.
$y' = 7(4-3x)^{7-1} \cdot (4-3x)' = 7(4-3x)^6 \cdot (-3) = -21(4-3x)^6$.
Ответ: $-21(4-3x)^6$.

7) Функцию $y = \sqrt[3]{3x - 2}$ представим как $y = (3x-2)^{1/3}$ и используем цепное правило.
Внешняя функция $f(u)=u^{1/3}$, внутренняя $g(x)=3x-2$.
$y' = \frac{1}{3}(3x-2)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x-2)' = \frac{1}{3}(3x-2)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-2)^{-2/3} = \frac{1}{(3x-2)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}}$.

8) Функцию $y = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ представим как $y = (1-4x)^{-1/2}$ и используем цепное правило.
Внешняя функция $f(u)=u^{-1/2}$, внутренняя $g(x)=1-4x$.
$y' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (1-4x)' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-3/2} \cdot (-4) = 2(1-4x)^{-3/2} = \frac{2}{(1-4x)^{3/2}} = \frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}}$.
Ответ: $\frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}}$.

9) Для функции $y = \sin(0.5x)$ применяем цепное правило для тригонометрических функций: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
$y' = (\sin(0.5x))' = \cos(0.5x) \cdot (0.5x)' = \cos(0.5x) \cdot 0.5 = 0.5\cos(0.5x)$.
Ответ: $0.5\cos(0.5x)$.

10) Для функции $y = \cos(-3x)$ сначала воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Получаем $y = \cos(3x)$.
Затем применяем цепное правило: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.
$y' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.
Ответ: $-3\sin(3x)$.