Номер 238, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 238, страница 98.

Условие.

238. 1) $e^x - \sin x;$

2) $\cos x - \operatorname{tg} x;$

3) $\operatorname{ctg} x - \sqrt[3]{x};$

4) $6x^4 - 9e^x;$

5) $\frac{5}{x} + 4e^x;$

6) $\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти производную функции $y = e^x - \sin x$, мы используем правило дифференцирования разности, которое гласит, что производная разности двух функций равна разности их производных: $(u - v)' = u' - v'$.
В данном случае $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные каждой функции, используя таблицу производных элементарных функций:
Производная показательной функции $(e^x)' = e^x$.
Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу:
$y' = (e^x - \sin x)' = (e^x)' - (\sin x)' = e^x - \cos x$.
Ответ: $e^x - \cos x$

2) Для функции $y = \cos x - \tg x$ также применяем правило дифференцирования разности: $(u - v)' = u' - v'$.
Здесь $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \tg x$.
Находим производные этих функций:
Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставляем эти производные в формулу разности:
$y' = (\cos x - \tg x)' = (\cos x)' - (\tg x)' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $-\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

3) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{ctg} x - \sqrt[3]{x}$ снова используем правило дифференцирования разности.
Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Функция примет вид $y = \operatorname{ctg} x - x^{\frac{1}{3}}$.
Применяем правило $(u-v)' = u' - v'$.
Находим производную котангенса: $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Находим производную степенной функции $x^{\frac{1}{3}}$ по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Теперь вычитаем вторую производную из первой:
$y' = (\operatorname{ctg} x - x^{\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $-\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

4) Для нахождения производной функции $y = 6x^4 - 9e^x$ используем правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
$y' = (6x^4 - 9e^x)' = (6x^4)' - (9e^x)' = 6(x^4)' - 9(e^x)'$.
Находим производные функций $x^4$ и $e^x$:
По формуле степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ получаем $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Производная показательной функции $(e^x)' = e^x$.
Подставляем найденные производные в выражение:
$y' = 6 \cdot (4x^3) - 9 \cdot e^x = 24x^3 - 9e^x$.
Ответ: $24x^3 - 9e^x$

5) Для нахождения производной функции $y = \frac{5}{x} + 4e^x$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)'=u'+v'$ и правило вынесения константы.
Представим дробь $\frac{5}{x}$ в виде степенной функции: $5x^{-1}$.
Тогда $y = 5x^{-1} + 4e^x$.
$y' = (5x^{-1} + 4e^x)' = (5x^{-1})' + (4e^x)' = 5(x^{-1})' + 4(e^x)'$.
Находим производные:
$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
$(e^x)' = e^x$.
Подставляем производные в выражение:
$y' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + 4 \cdot e^x = -\frac{5}{x^2} + 4e^x$.
Ответ: $4e^x - \frac{5}{x^2}$

6) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln x$ используем правило дифференцирования суммы и вынесения константы.
Представим дробь $\frac{1}{3x^3}$ в виде $\frac{1}{3}x^{-3}$.
Тогда $y = \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln x$.
$y' = \left(\frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln x\right)' = \left(\frac{1}{3}x^{-3}\right)' + \left(\frac{1}{2}\ln x\right)' = \frac{1}{3}(x^{-3})' + \frac{1}{2}(\ln x)'$.
Находим производные:
$(x^{-3})' = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем производные в выражение:
$y' = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{x^4}\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$.
Ответ: $\frac{1}{2x} - \frac{1}{x^4}$