Номер 240, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 240, страница 98.
№240 (с. 98)
Условие. №240 (с. 98)
скриншот условия

240. 1) $x^2 \cos x$;
2) $x^3 \ln x$;
3) $5x \operatorname{ctg} x$;
4) $\sin 2x \operatorname{tg} x$;
5) $e^{-x} \sin x$;
6) $e^x \cos x$.
Решение 1. №240 (с. 98)






Решение 2. №240 (с. 98)


Решение 3. №240 (с. 98)
1) $x^2 \cos x$
Для нахождения производной функции $y = x^2 \cos x$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
В нашем случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \cos x$.
Находим производные этих функций:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
Теперь подставляем найденные производные в формулу производной произведения:
$y' = (x^2 \cos x)' = (x^2)' \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)' = 2x \cos x + x^2(-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x$.
Ответ: $2x \cos x - x^2 \sin x$.
2) $x^3 \ln x$
Для нахождения производной функции $y = x^3 \ln x$ используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln x$.
Находим их производные:
$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Подставляем в формулу:
$y' = (x^3 \ln x)' = (x^3)' \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.
Можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(3 \ln x + 1)$.
Ответ: $3x^2 \ln x + x^2$.
3) $5x \operatorname{ctg} x$
Для нахождения производной функции $y = 5x \operatorname{ctg} x$ применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 5x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Находим производные:
$u'(x) = (5x)' = 5$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем в формулу:
$y' = (5x \operatorname{ctg} x)' = (5x)' \cdot \operatorname{ctg} x + 5x \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 5 \operatorname{ctg} x + 5x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 5 \operatorname{ctg} x - \frac{5x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $5 \operatorname{ctg} x - \frac{5x}{\sin^2 x}$.
4) $\sin 2x \operatorname{tg} x$
Для нахождения производной функции $y = \sin 2x \operatorname{tg} x$ сначала упростим выражение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).
$y = (2 \sin x \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin^2 x$.
Теперь найдем производную от упрощенной функции $y = 2 \sin^2 x$. Используем правило производной сложной функции (цепное правило).
$y' = (2 \sin^2 x)' = 2 \cdot 2 \sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 4 \sin x \cos x$.
Используя снова формулу синуса двойного угла, получаем:
$4 \sin x \cos x = 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin 2x$.
Ответ: $2 \sin 2x$.
5) $e^{-x} \sin x$
Для нахождения производной функции $y = e^{-x} \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные. Для $u(x)$ используем цепное правило:
$u'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Подставляем в формулу:
$y' = (e^{-x} \sin x)' = (-e^{-x}) \cdot \sin x + e^{-x} \cdot \cos x = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x$.
Вынесем общий множитель $e^{-x}$:
$y' = e^{-x}(\cos x - \sin x)$.
Ответ: $e^{-x}(\cos x - \sin x)$.
6) $e^x \cos x$
Для нахождения производной функции $y = e^x \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.
Находим их производные:
$u'(x) = (e^x)' = e^x$
$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
Подставляем в формулу:
$y' = (e^x \cos x)' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$.
Вынесем общий множитель $e^x$:
$y' = e^x(\cos x - \sin x)$.
Ответ: $e^x(\cos x - \sin x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 240 расположенного на странице 98 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №240 (с. 98), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.