Номер 240, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 240, страница 98.

Условие.

240. 1) $x^2 \cos x$;

2) $x^3 \ln x$;

3) $5x \operatorname{ctg} x$;

4) $\sin 2x \operatorname{tg} x$;

5) $e^{-x} \sin x$;

6) $e^x \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 \cos x$

Для нахождения производной функции $y = x^2 \cos x$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \cos x$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставляем найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = (x^2 \cos x)' = (x^2)' \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)' = 2x \cos x + x^2(-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x$.

Ответ: $2x \cos x - x^2 \sin x$.

2) $x^3 \ln x$

Для нахождения производной функции $y = x^3 \ln x$ используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln x$.

Находим их производные:

$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставляем в формулу:

$y' = (x^3 \ln x)' = (x^3)' \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.

Можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(3 \ln x + 1)$.

Ответ: $3x^2 \ln x + x^2$.

3) $5x \operatorname{ctg} x$

Для нахождения производной функции $y = 5x \operatorname{ctg} x$ применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 5x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.

Находим производные:

$u'(x) = (5x)' = 5$

$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = (5x \operatorname{ctg} x)' = (5x)' \cdot \operatorname{ctg} x + 5x \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 5 \operatorname{ctg} x + 5x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 5 \operatorname{ctg} x - \frac{5x}{\sin^2 x}$.

Ответ: $5 \operatorname{ctg} x - \frac{5x}{\sin^2 x}$.

4) $\sin 2x \operatorname{tg} x$

Для нахождения производной функции $y = \sin 2x \operatorname{tg} x$ сначала упростим выражение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

$y = (2 \sin x \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin^2 x$.

Теперь найдем производную от упрощенной функции $y = 2 \sin^2 x$. Используем правило производной сложной функции (цепное правило).

$y' = (2 \sin^2 x)' = 2 \cdot 2 \sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 4 \sin x \cos x$.

Используя снова формулу синуса двойного угла, получаем:

$4 \sin x \cos x = 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin 2x$.

Ответ: $2 \sin 2x$.

5) $e^{-x} \sin x$

Для нахождения производной функции $y = e^{-x} \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = \sin x$.

Находим производные. Для $u(x)$ используем цепное правило:

$u'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:

$y' = (e^{-x} \sin x)' = (-e^{-x}) \cdot \sin x + e^{-x} \cdot \cos x = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x$.

Вынесем общий множитель $e^{-x}$:

$y' = e^{-x}(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $e^{-x}(\cos x - \sin x)$.

6) $e^x \cos x$

Для нахождения производной функции $y = e^x \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Находим их производные:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = (e^x \cos x)' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$.

Вынесем общий множитель $e^x$:

$y' = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $e^x(\cos x - \sin x)$.