Номер 246, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 246, страница 99.

Условие.

246. 1) $\sin x \cos x + x$;

2) $(x^3 + 1) \cos 2x$;

3) $(x+2) \sqrt[3]{x^2}$;

4) $\sqrt[3]{x-1(x^4-1)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $y = \sin x \cos x + x$.
Для нахождения производной этой функции можно сначала упростить первое слагаемое, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Отсюда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Тогда функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin(2x) + x$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции:
$y' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x) + x\right)' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' + (x)'$.
Производная первого слагаемого: $\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.
Производная второго слагаемого: $(x)' = 1$.
Складываем полученные производные:
$y' = \cos(2x) + 1$.
Ответ: $y' = \cos(2x) + 1$.

2)

Дана функция $y = (x^3 + 1)\cos(2x)$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^3 + 1$ и $v = \cos(2x)$.
Найдем производные для $u$ и $v$:
$u' = (x^3 + 1)' = 3x^2$.
$v' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$ (по правилу дифференцирования сложной функции).
Теперь подставим найденные производные в формулу произведения:
$y' = (3x^2)(\cos(2x)) + (x^3 + 1)(-2\sin(2x))$.
Упростим выражение:
$y' = 3x^2\cos(2x) - 2(x^3 + 1)\sin(2x)$.
Ответ: $y' = 3x^2\cos(2x) - 2(x^3 + 1)\sin(2x)$.

3)

Дана функция $y = (x + 2)\sqrt[3]{x^2}$.
Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.
Функция примет вид: $y = (x + 2)x^{2/3}$.
Раскроем скобки для упрощения дифференцирования:
$y = x \cdot x^{2/3} + 2 \cdot x^{2/3} = x^{1 + 2/3} + 2x^{2/3} = x^{5/3} + 2x^{2/3}$.
Теперь найдем производную как сумму производных, используя правило степени $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{5/3})' + (2x^{2/3})' = \frac{5}{3}x^{5/3 - 1} + 2 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1}$.
$y' = \frac{5}{3}x^{2/3} + \frac{4}{3}x^{-1/3}$.
Преобразуем выражение, вернувшись к корням и приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{3x^{1/3}} = \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{3} + \frac{4}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{5\sqrt[3]{x^2}\sqrt[3]{x} + 4}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{5\sqrt[3]{x^3} + 4}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{5x + 4}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{5x + 4}{3\sqrt[3]{x}}$.

4)

Дана функция $y = \sqrt[3]{x-1}(x^4 - 1)$.
Представим корень в виде степени: $y = (x-1)^{1/3}(x^4 - 1)$.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = (x-1)^{1/3}$ и $v = x^4 - 1$.
Найдем производные для $u$ и $v$:
$u' = ((x-1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(x-1)^{1/3 - 1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$.
$v' = (x^4 - 1)' = 4x^3$.
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = \frac{1}{3(x-1)^{2/3}}(x^4 - 1) + (x-1)^{1/3}(4x^3)$.
Приведем к общему знаменателю $3(x-1)^{2/3}$:
$y' = \frac{x^4 - 1}{3(x-1)^{2/3}} + \frac{3 \cdot 4x^3(x-1)^{1/3}(x-1)^{2/3}}{3(x-1)^{2/3}} = \frac{x^4 - 1 + 12x^3(x-1)}{3(x-1)^{2/3}}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$y' = \frac{x^4 - 1 + 12x^4 - 12x^3}{3(x-1)^{2/3}} = \frac{13x^4 - 12x^3 - 1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$.
Можно заметить, что числитель $13x^4 - 12x^3 - 1$ обращается в ноль при $x=1$, значит, он делится на $(x-1)$. Выполнив деление, получим: $13x^4 - 12x^3 - 1 = (x-1)(13x^3 + x^2 + x + 1)$.
Тогда производная принимает вид:
$y' = \frac{(x-1)(13x^3 + x^2 + x + 1)}{3(x-1)^{2/3}} = \frac{(x-1)^{1-2/3}(13x^3 + x^2 + x + 1)}{3} = \frac{(x-1)^{1/3}(13x^3 + x^2 + x + 1)}{3}$.
Ответ: $y' = \frac{(13x^3 + x^2 + x + 1)\sqrt[3]{x-1}}{3}$.