Номер 249, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 249, страница 99.

Условие.

249. Построить график и указать промежутки непрерывности функции:

1) f(x) =

$\begin{cases} \log_2(x-1) & \text{при } x \le 3 \\ (x-5)^2 & \text{при } x > 3 \end{cases}$

2) f(x) =

$\begin{cases} \sqrt{x+3} & \text{при } x > 3 \\ x+3 & \text{при } -3 \le x \le 3 \\ (x+3)^2 & \text{при } x < -3 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция:

$ f(x) = \begin{cases} \log_2(x-1) & \text{при } x \le 3, \\ (x-5)^2 & \text{при } x > 3. \end{cases} $

Область определения функции. Для первой части функции, $y = \log_2(x-1)$, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$. С учетом условия $x \le 3$, получаем, что эта часть графика определена на промежутке $(1, 3]$. Для второй части, $y = (x-5)^2$, функция определена на $(3, +\infty)$. Таким образом, общая область определения функции $f(x)$ есть $(1, +\infty)$.

Построение графика:

1. На промежутке $(1, 3]$ строим график функции $y = \log_2(x-1)$. Это график функции $y = \log_2(x)$, смещенный на 1 единицу вправо. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. Найдем значения в нескольких точках:

• $f(2) = \log_2(2-1) = \log_2(1) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• $f(3) = \log_2(3-1) = \log_2(2) = 1$. Точка $(3, 1)$ является конечной точкой этого участка графика (точка закрашена, так как неравенство нестрогое).

2. На промежутке $(3, +\infty)$ строим график функции $y = (x-5)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(5, 0)$, ветви которой направлены вверх. Найдем предельное значение в точке $x=3$:

• $\lim_{x \to 3^+} (x-5)^2 = (3-5)^2 = (-2)^2 = 4$. Точка $(3, 4)$ является начальной точкой этого участка (точка выколота, так как неравенство строгое).
• Вершина параболы: $x_в = 5$, $y_в = (5-5)^2 = 0$. Точка $(5, 0)$.
• Еще одна точка: при $x=4$, $y = (4-5)^2 = 1$. Точка $(4, 1)$.

Исследование на непрерывность:

Функция состоит из элементарных функций, которые непрерывны на своих областях определения. Единственная точка, где непрерывность может нарушаться, — это точка "стыка" $x=3$.

Проверим непрерывность в точке $x=3$:

• Значение функции в точке: $f(3) = \log_2(3-1) = 1$.
• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \log_2(x-1) = \log_2(2) = 1$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x-5)^2 = (3-5)^2 = 4$.

Так как левосторонний и правосторонний пределы в точке $x=3$ существуют, но не равны между собой ($\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$), функция в этой точке терпит разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $4 - 1 = 3$.

Таким образом, функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=3$.

Промежутки непрерывности: $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: Промежутки непрерывности функции: $(1, 3) \cup (3, +\infty)$. В точке $x=3$ функция имеет разрыв первого рода.

---

2)

Дана функция:

$ f(x) = \begin{cases} (x+3)^2 & \text{при } x < -3, \\ x+3 & \text{при } -3 \le x \le 3, \\ \sqrt{x+3} & \text{при } x > 3. \end{cases} $

Область определения функции. Для $\sqrt{x+3}$ должно выполняться $x+3 \ge 0$, т.е. $x \ge -3$. Но по условию $x>3$, так что это условие выполняется. Остальные части определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, -3)$ строим график функции $y = (x+3)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-3, 0)$. Мы строим только левую ветвь этой параболы.

• Найдем предел в точке $x=-3$: $\lim_{x \to -3^-} (x+3)^2 = (-3+3)^2 = 0$. График подходит к точке $(-3, 0)$ (точка выколота).
• Возьмем точку $x=-4$: $y = (-4+3)^2 = 1$. Точка $(-4, 1)$.

2. На отрезке $[-3, 3]$ строим график функции $y = x+3$. Это отрезок прямой линии.

• При $x=-3$, $y = -3+3 = 0$. Точка $(-3, 0)$ (закрашена).
• При $x=3$, $y = 3+3 = 6$. Точка $(3, 6)$ (закрашена).

3. На промежутке $(3, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x+3}$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево.

• Найдем предел в точке $x=3$: $\lim_{x \to 3^+} \sqrt{x+3} = \sqrt{3+3} = \sqrt{6} \approx 2.45$. График начинается из точки $(3, \sqrt{6})$ (точка выколота).
• Возьмем точку $x=6$: $y = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6, 3)$.

Исследование на непрерывность:

Точки возможного разрыва — это точки "стыка" $x=-3$ и $x=3$.

Проверим непрерывность в точке $x=-3$:

• Значение функции в точке: $f(-3) = -3+3 = 0$.
• Левосторонний предел: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (x+3)^2 = 0$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (x+3) = 0$.

Так как $f(-3) = \lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = 0$, функция непрерывна в точке $x=-3$.

Проверим непрерывность в точке $x=3$:

• Значение функции в точке: $f(3) = 3+3 = 6$.
• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \sqrt{x+3} = \sqrt{6}$.

Так как левосторонний и правосторонний пределы в точке $x=3$ существуют, но не равны ($\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$), функция в этой точке терпит разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|6 - \sqrt{6}|$.

Промежутки непрерывности: $(-\infty, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: Промежутки непрерывности функции: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. В точке $x=3$ функция имеет разрыв первого рода.