Номер 254, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 254, страница 100.

№254 (с. 100)
Условие. №254 (с. 100)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Условие

254. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$;

2) $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$;

3) $f(x) = x + \ln 2x$;

4) $f(x) = x + \ln(2x + 1)$;

5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$;

6) $f(x) = (x + 1)\sqrt{x + 1 - 3x}$.

Решение 1. №254 (с. 100)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 1 (продолжение 6)
Решение 2. №254 (с. 100)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 100, номер 254, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №254 (с. 100)

1) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Сначала найдем ее производную. Используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$, получаем:

$f'(x) = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = \ln 2 (2^x - 2^{-x})$.

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$. Так как $\ln 2 \neq 0$, то $2^x - 2^{-x} = 0$.

$2^x = 2^{-x} \implies 2^x = \frac{1}{2^x} \implies 2^{2x} = 1 \implies 2^{2x} = 2^0$.

$2x = 0 \implies x = 0$.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) > 0$. Так как $\ln 2 > 0$, то $2^x - 2^{-x} > 0$.

$2^x > 2^{-x} \implies 2^{2x} > 1 \implies 2x > 0 \implies x > 0$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) < 0 \implies 2^x - 2^{-x} < 0$.

$2^x < 2^{-x} \implies 2^{2x} < 1 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$; положительна при $x \in (0; +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$.

Найдем производную функции, используя правило для сложной показательной функции и производную линейной функции:

$f'(x) = (3^{2x})' - (2x \ln 3)' = 3^{2x} \ln 3 \cdot (2x)' - 2 \ln 3 = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2 - 2 \ln 3 = 2 \ln 3 (3^{2x} - 1)$.

Исследуем знак производной.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$. Так как $2 \ln 3 \neq 0$, то $3^{2x} - 1 = 0$.

$3^{2x} = 1 \implies 3^{2x} = 3^0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) > 0$. Так как $2 \ln 3 > 0$, то $3^{2x} - 1 > 0$.

$3^{2x} > 1 \implies 3^{2x} > 3^0 \implies 2x > 0 \implies x > 0$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) < 0 \implies 3^{2x} - 1 < 0$.

$3^{2x} < 1 \implies 3^{2x} < 3^0 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$; положительна при $x \in (0; +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

3) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x)$.

Область определения функции: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $2x > 0 \implies x > 0$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' + (\ln(2x))' = 1 + \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.

Это значение не входит в область определения функции ($x > 0$), следовательно, производная нигде не равна нулю.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{1}{x} > 0$. В области определения $x > 0$, поэтому $\frac{1}{x}$ также всегда положительно. Сумма двух положительных чисел ($1$ и $\frac{1}{x}$) всегда положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$1 + \frac{1}{x} < 0$. Как показано выше, в области определения $f'(x)$ всегда положительна, поэтому это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (0; +\infty)$; не существует значений $x$, при которых производная равна нулю или отрицательна.

4) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{2}{2x+1} = 0 \implies \frac{2}{2x+1} = -1 \implies 2 = -(2x+1) \implies 2 = -2x-1 \implies 3 = -2x \implies x = -3/2$.

Это значение $x=-1.5$ не входит в область определения ($x > -0.5$), следовательно, производная нигде не равна нулю.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{2}{2x+1} > 0$. В области определения $x > -1/2$, знаменатель $2x+1$ положителен. Значит, дробь $\frac{2}{2x+1}$ тоже положительна. Сумма двух положительных чисел ($1$ и $\frac{2}{2x+1}$) всегда положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

Так как $f'(x)$ всегда положительна в области определения, это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (-1/2; +\infty)$; не существует значений $x$, при которых производная равна нулю или отрицательна.

5) Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$. Перепишем функцию в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.

Найдем производную: $f'(x) = (6x)' - (x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies 6 = \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 12 = 3\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 4$.

Возводим в квадрат: $x = 16$. Это значение входит в область определения.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0 \implies 6 > \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 > \sqrt{x}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат: $16 > x$. С учетом области определения ($x \ge 0$), получаем $0 \le x < 16$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} < 0 \implies 6 < \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 < \sqrt{x}$.

Возводим в квадрат: $16 < x$.

Ответ: производная равна нулю при $x=16$; положительна при $x \in [0; 16)$; отрицательна при $x \in (16; +\infty)$.

6) Дана функция $f(x) = (x + 1)\sqrt{x + 1} - 3x$.

Функцию можно записать как $f(x) = (x+1)^{3/2} - 3x$. Область определения функции: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Найдем производную функции: $f'(x) = ((x+1)^{3/2})' - (3x)' = \frac{3}{2}(x+1)^{1/2} \cdot (x+1)' - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 = 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} = 3 \implies \sqrt{x+1} = 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 4 \implies x=3$. Это значение входит в область определения.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 > 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} > 3 \implies \sqrt{x+1} > 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 > 4 \implies x > 3$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 < 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} < 3 \implies \sqrt{x+1} < 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 < 4 \implies x < 3$. С учетом области определения ($x \ge -1$), получаем $-1 \le x < 3$.

Ответ: производная равна нулю при $x=3$; положительна при $x \in (3; +\infty)$; отрицательна при $x \in [-1; 3)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 254 расположенного на странице 100 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №254 (с. 100), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.