Номер 254, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 254, страница 100.

Условие.

254. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$;

2) $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$;

3) $f(x) = x + \ln 2x$;

4) $f(x) = x + \ln(2x + 1)$;

5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$;

6) $f(x) = (x + 1)\sqrt{x + 1 - 3x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Сначала найдем ее производную. Используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$, получаем:

$f'(x) = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = \ln 2 (2^x - 2^{-x})$.

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$. Так как $\ln 2 \neq 0$, то $2^x - 2^{-x} = 0$.

$2^x = 2^{-x} \implies 2^x = \frac{1}{2^x} \implies 2^{2x} = 1 \implies 2^{2x} = 2^0$.

$2x = 0 \implies x = 0$.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) > 0$. Так как $\ln 2 > 0$, то $2^x - 2^{-x} > 0$.

$2^x > 2^{-x} \implies 2^{2x} > 1 \implies 2x > 0 \implies x > 0$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) < 0 \implies 2^x - 2^{-x} < 0$.

$2^x < 2^{-x} \implies 2^{2x} < 1 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$; положительна при $x \in (0; +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$.

Найдем производную функции, используя правило для сложной показательной функции и производную линейной функции:

$f'(x) = (3^{2x})' - (2x \ln 3)' = 3^{2x} \ln 3 \cdot (2x)' - 2 \ln 3 = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2 - 2 \ln 3 = 2 \ln 3 (3^{2x} - 1)$.

Исследуем знак производной.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$. Так как $2 \ln 3 \neq 0$, то $3^{2x} - 1 = 0$.

$3^{2x} = 1 \implies 3^{2x} = 3^0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) > 0$. Так как $2 \ln 3 > 0$, то $3^{2x} - 1 > 0$.

$3^{2x} > 1 \implies 3^{2x} > 3^0 \implies 2x > 0 \implies x > 0$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) < 0 \implies 3^{2x} - 1 < 0$.

$3^{2x} < 1 \implies 3^{2x} < 3^0 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$; положительна при $x \in (0; +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

3) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x)$.

Область определения функции: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $2x > 0 \implies x > 0$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' + (\ln(2x))' = 1 + \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.

Это значение не входит в область определения функции ($x > 0$), следовательно, производная нигде не равна нулю.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{1}{x} > 0$. В области определения $x > 0$, поэтому $\frac{1}{x}$ также всегда положительно. Сумма двух положительных чисел ($1$ и $\frac{1}{x}$) всегда положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$1 + \frac{1}{x} < 0$. Как показано выше, в области определения $f'(x)$ всегда положительна, поэтому это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (0; +\infty)$; не существует значений $x$, при которых производная равна нулю или отрицательна.

4) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{2}{2x+1} = 0 \implies \frac{2}{2x+1} = -1 \implies 2 = -(2x+1) \implies 2 = -2x-1 \implies 3 = -2x \implies x = -3/2$.

Это значение $x=-1.5$ не входит в область определения ($x > -0.5$), следовательно, производная нигде не равна нулю.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{2}{2x+1} > 0$. В области определения $x > -1/2$, знаменатель $2x+1$ положителен. Значит, дробь $\frac{2}{2x+1}$ тоже положительна. Сумма двух положительных чисел ($1$ и $\frac{2}{2x+1}$) всегда положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

Так как $f'(x)$ всегда положительна в области определения, это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (-1/2; +\infty)$; не существует значений $x$, при которых производная равна нулю или отрицательна.

5) Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$. Перепишем функцию в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.

Найдем производную: $f'(x) = (6x)' - (x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies 6 = \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 12 = 3\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 4$.

Возводим в квадрат: $x = 16$. Это значение входит в область определения.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0 \implies 6 > \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 > \sqrt{x}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат: $16 > x$. С учетом области определения ($x \ge 0$), получаем $0 \le x < 16$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} < 0 \implies 6 < \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 < \sqrt{x}$.

Возводим в квадрат: $16 < x$.

Ответ: производная равна нулю при $x=16$; положительна при $x \in [0; 16)$; отрицательна при $x \in (16; +\infty)$.

6) Дана функция $f(x) = (x + 1)\sqrt{x + 1} - 3x$.

Функцию можно записать как $f(x) = (x+1)^{3/2} - 3x$. Область определения функции: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Найдем производную функции: $f'(x) = ((x+1)^{3/2})' - (3x)' = \frac{3}{2}(x+1)^{1/2} \cdot (x+1)' - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 = 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} = 3 \implies \sqrt{x+1} = 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 4 \implies x=3$. Это значение входит в область определения.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 > 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} > 3 \implies \sqrt{x+1} > 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 > 4 \implies x > 3$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 < 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} < 3 \implies \sqrt{x+1} < 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 < 4 \implies x < 3$. С учетом области определения ($x \ge -1$), получаем $-1 \le x < 3$.

Ответ: производная равна нулю при $x=3$; положительна при $x \in (3; +\infty)$; отрицательна при $x \in [-1; 3)$.