Номер 259, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 259, страница 101.
№259 (с. 101)
Условие. №259 (с. 101)
скриншот условия

259. Определить, под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми называется угол между касательными к кривым в точке их пересечения):
1) $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$;
2) $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1.
Решение 1. №259 (с. 101)


Решение 2. №259 (с. 101)

Решение 3. №259 (с. 101)
Чтобы определить угол между графиками функций, необходимо найти угол между касательными к этим графикам в точке их пересечения. Алгоритм решения следующий:
- Найти координаты точки пересечения графиков.
- Найти производные обеих функций. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
- Вычислить угловые коэффициенты касательных в точке пересечения ($k_1$ и $k_2$).
- Найти угол $\phi$ между касательными, используя формулу: $\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.
Даны функции $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$.
Шаг 1: Находим точку пересечения.
Приравняем выражения для $y$:
$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}$
$\sqrt{x} = \sqrt{6-x}$
Возводим обе части в квадрат (при условии $x \ge 0$ и $6-x \ge 0$, то есть $0 \le x \le 6$):
$x = 6-x$
$2x = 6$
$x_0 = 3$
Найдем ординату точки пересечения, подставив $x_0$ в любое из уравнений:
$y_0 = 2\sqrt{3}$
Таким образом, точка пересечения кривых $M(3, 2\sqrt{3})$.
Шаг 2: Находим производные.
Для первой функции $y_1 = 2\sqrt{x}$:
$y_1' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Для второй функции $y_2 = 2\sqrt{6-x}$:
$y_2' = (2(6-x)^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(6-x)^{-1/2} \cdot (6-x)' = \frac{1}{\sqrt{6-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{6-x}}$
Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 3$.
Угловой коэффициент первой касательной:
$k_1 = y_1'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Угловой коэффициент второй касательной:
$k_2 = y_2'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6-3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Шаг 4: Находим угол между касательными.
Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:
$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$
Находим угол $\phi$:
$\phi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (или $60^{\circ}$).
Ответ: $\frac{\pi}{3}$
2)Даны функции $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1$.
Шаг 1: Находим точку пересечения.
Приравняем выражения для $y$:
$\sqrt{2x+1} = 1$
Возводим обе части в квадрат (при условии $2x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/2$):
$2x+1 = 1$
$2x = 0$
$x_0 = 0$
Ордината точки пересечения $y_0=1$.
Таким образом, точка пересечения кривых $M(0, 1)$.
Шаг 2: Находим производные.
Для первой функции $y_1 = \sqrt{2x+1}$:
$y_1' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
Вторая функция $y_2 = 1$ — это горизонтальная прямая, её производная равна нулю:
$y_2' = 0$
Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 0$.
Угловой коэффициент первой касательной:
$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = 1$
Угловой коэффициент второй касательной:
$k_2 = 0$
Шаг 4: Находим угол между касательными.
Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:
$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{0 - 1}{1 + 1 \cdot 0} \right| = \left| \frac{-1}{1} \right| = 1$
Находим угол $\phi$:
$\phi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (или $45^{\circ}$).
Ответ: $\frac{\pi}{4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 259 расположенного на странице 101 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №259 (с. 101), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.