Номер 259, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 259, страница 101.

Условие.

259. Определить, под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми называется угол между касательными к кривым в точке их пересечения):

1) $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$;

2) $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы определить угол между графиками функций, необходимо найти угол между касательными к этим графикам в точке их пересечения. Алгоритм решения следующий:

1. Найти координаты точки пересечения графиков.
2. Найти производные обеих функций. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
3. Вычислить угловые коэффициенты касательных в точке пересечения ($k_1$ и $k_2$).
4. Найти угол $\phi$ между касательными, используя формулу: $\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

1)

Даны функции $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$.

Шаг 1: Находим точку пересечения.

Приравняем выражения для $y$:

$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}$

$\sqrt{x} = \sqrt{6-x}$

Возводим обе части в квадрат (при условии $x \ge 0$ и $6-x \ge 0$, то есть $0 \le x \le 6$):

$x = 6-x$

$2x = 6$

$x_0 = 3$

Найдем ординату точки пересечения, подставив $x_0$ в любое из уравнений:

$y_0 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, точка пересечения кривых $M(3, 2\sqrt{3})$.

Шаг 2: Находим производные.

Для первой функции $y_1 = 2\sqrt{x}$:

$y_1' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Для второй функции $y_2 = 2\sqrt{6-x}$:

$y_2' = (2(6-x)^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(6-x)^{-1/2} \cdot (6-x)' = \frac{1}{\sqrt{6-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{6-x}}$

Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент первой касательной:

$k_1 = y_1'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угловой коэффициент второй касательной:

$k_2 = y_2'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6-3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 4: Находим угол между касательными.

Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Находим угол $\phi$:

$\phi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (или $60^{\circ}$).

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

2)

Даны функции $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1$.

Шаг 1: Находим точку пересечения.

Приравняем выражения для $y$:

$\sqrt{2x+1} = 1$

Возводим обе части в квадрат (при условии $2x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/2$):

$2x+1 = 1$

$2x = 0$

$x_0 = 0$

Ордината точки пересечения $y_0=1$.

Таким образом, точка пересечения кривых $M(0, 1)$.

Шаг 2: Находим производные.

Для первой функции $y_1 = \sqrt{2x+1}$:

$y_1' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Вторая функция $y_2 = 1$ — это горизонтальная прямая, её производная равна нулю:

$y_2' = 0$

Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 0$.

Угловой коэффициент первой касательной:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = 1$

Угловой коэффициент второй касательной:

$k_2 = 0$

Шаг 4: Находим угол между касательными.

Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{0 - 1}{1 + 1 \cdot 0} \right| = \left| \frac{-1}{1} \right| = 1$

Находим угол $\phi$:

$\phi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (или $45^{\circ}$).

Ответ: $\frac{\pi}{4}$