Номер 259, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 259, страница 101.

№259 (с. 101)
Условие. №259 (с. 101)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 101, номер 259, Условие

259. Определить, под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми называется угол между касательными к кривым в точке их пересечения):

1) $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$;

2) $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1.

Решение 1. №259 (с. 101)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 101, номер 259, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 101, номер 259, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №259 (с. 101)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 101, номер 259, Решение 2
Решение 3. №259 (с. 101)

Чтобы определить угол между графиками функций, необходимо найти угол между касательными к этим графикам в точке их пересечения. Алгоритм решения следующий:

  1. Найти координаты точки пересечения графиков.
  2. Найти производные обеих функций. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
  3. Вычислить угловые коэффициенты касательных в точке пересечения ($k_1$ и $k_2$).
  4. Найти угол $\phi$ между касательными, используя формулу: $\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.
1)

Даны функции $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$.

Шаг 1: Находим точку пересечения.

Приравняем выражения для $y$:

$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}$

$\sqrt{x} = \sqrt{6-x}$

Возводим обе части в квадрат (при условии $x \ge 0$ и $6-x \ge 0$, то есть $0 \le x \le 6$):

$x = 6-x$

$2x = 6$

$x_0 = 3$

Найдем ординату точки пересечения, подставив $x_0$ в любое из уравнений:

$y_0 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, точка пересечения кривых $M(3, 2\sqrt{3})$.

Шаг 2: Находим производные.

Для первой функции $y_1 = 2\sqrt{x}$:

$y_1' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Для второй функции $y_2 = 2\sqrt{6-x}$:

$y_2' = (2(6-x)^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(6-x)^{-1/2} \cdot (6-x)' = \frac{1}{\sqrt{6-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{6-x}}$

Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент первой касательной:

$k_1 = y_1'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угловой коэффициент второй касательной:

$k_2 = y_2'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6-3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 4: Находим угол между касательными.

Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Находим угол $\phi$:

$\phi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (или $60^{\circ}$).

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

2)

Даны функции $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1$.

Шаг 1: Находим точку пересечения.

Приравняем выражения для $y$:

$\sqrt{2x+1} = 1$

Возводим обе части в квадрат (при условии $2x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/2$):

$2x+1 = 1$

$2x = 0$

$x_0 = 0$

Ордината точки пересечения $y_0=1$.

Таким образом, точка пересечения кривых $M(0, 1)$.

Шаг 2: Находим производные.

Для первой функции $y_1 = \sqrt{2x+1}$:

$y_1' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Вторая функция $y_2 = 1$ — это горизонтальная прямая, её производная равна нулю:

$y_2' = 0$

Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 0$.

Угловой коэффициент первой касательной:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = 1$

Угловой коэффициент второй касательной:

$k_2 = 0$

Шаг 4: Находим угол между касательными.

Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{0 - 1}{1 + 1 \cdot 0} \right| = \left| \frac{-1}{1} \right| = 1$

Находим угол $\phi$:

$\phi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (или $45^{\circ}$).

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 259 расположенного на странице 101 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №259 (с. 101), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.