Номер 264, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 264, страница 101.

Условие.

264. Прямая касается гиперболы $y = \frac{k}{x}$, где $k > 0$, в точке с абсциссой $x_0$. Доказать, что:

1) площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания; найти эту площадь;

2) эта касательная проходит через точки $(x_0; \frac{k}{x_0})$ и $(2x_0; 0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания; найти эту площадь;

Дана гипербола $y = f(x) = \frac{k}{x}$, где $k > 0$. Касание происходит в точке с абсциссой $x_0$. Координаты точки касания $M$ равны $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0) = \frac{k}{x_0}$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{k}{x})' = (k \cdot x^{-1})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2}$.

Подставим известные значения в уравнение касательной:

$y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить вершины треугольника.

Пересечение с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(0 - x_0)$

$y - \frac{k}{x_0} = \frac{k x_0}{x_0^2}$

$y - \frac{k}{x_0} = \frac{k}{x_0}$

$y = \frac{2k}{x_0}$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $A(0, \frac{2k}{x_0})$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$

Поскольку $k > 0$ и $x_0 \ne 0$, мы можем разделить обе части на $-\frac{k}{x_0}$:

$1 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$

Умножим обе части на $x_0$:

$x_0 = x - x_0$

$x = 2x_0$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $B(2x_0, 0)$.

Треугольник, ограниченный касательной и осями координат, является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $O(0, 0)$, $A(0, \frac{2k}{x_0})$ и $B(2x_0, 0)$.

Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения:

Длина катета по оси Ox: $|2x_0|$

Длина катета по оси Oy: $|\frac{2k}{x_0}|$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot |\frac{2k}{x_0}|$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2|k|}{|x_0|}$

Так как по условию $k > 0$, то $|k| = k$. Сокращая $|x_0|$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2k = 2k$

Полученное значение площади $S = 2k$ является константой (поскольку $k$ — это заданный параметр гиперболы) и не зависит от $x_0$, то есть от положения точки касания. Это доказывает первое утверждение. Площадь этого треугольника равна $2k$.

Ответ: Площадь треугольника равна $2k$. Так как $k$ — константа, площадь не зависит от положения точки касания $x_0$.

2) эта касательная проходит через точки $(x_0; \frac{k}{x_0})$ и $(2x_0; 0)$.

Уравнение касательной, как мы нашли в пункте 1, имеет вид:

$y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$

Докажем, что указанные точки принадлежат этой прямой, подставив их координаты в уравнение.

Проверка для точки $(x_0; \frac{k}{x_0})$:

Эта точка является самой точкой касания. По определению, касательная проходит через точку касания. Выполним формальную проверку подстановкой:

Подставим $x = x_0$ и $y = \frac{k}{x_0}$ в уравнение касательной:

Левая часть: $\frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0} = 0$

Правая часть: $-\frac{k}{x_0^2}(x_0 - x_0) = -\frac{k}{x_0^2} \cdot 0 = 0$

Поскольку $0 = 0$, тождество верно, и точка $(x_0; \frac{k}{x_0})$ лежит на касательной.

Проверка для точки $(2x_0; 0)$:

Как было установлено в пункте 1, точка с координатами $(2x_0, 0)$ является точкой пересечения касательной с осью абсцисс (Ox). Следовательно, она должна лежать на касательной. Выполним проверку подстановкой:

Подставим $x = 2x_0$ и $y = 0$ в уравнение касательной:

Левая часть: $0 - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0}$

Правая часть: $-\frac{k}{x_0^2}(2x_0 - x_0) = -\frac{k}{x_0^2}(x_0) = -\frac{k}{x_0}$

Поскольку левая и правая части равны ($-\frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0}$), тождество верно, и точка $(2x_0; 0)$ лежит на касательной.

Таким образом, доказано, что касательная проходит через обе указанные точки.

Ответ: Что и требовалось доказать.