Номер 5, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 5, страница 101.

Условие.

5. Привести пример непрерывной функции и построить её график.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пример непрерывной функции

Непрерывная функция — это функция, график которой является сплошной линией, то есть его можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. Более строго, функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Функция считается непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В качестве примера простой и широко известной непрерывной функции рассмотрим квадратичную функцию:
$y = x^2$

Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то есть для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Это общее свойство для всех полиномиальных (многочленных) функций, к которым относится и $y=x^2$, поскольку они строятся из непрерывных функций (констант и $y=x$) с помощью операций сложения и умножения, сохраняющих непрерывность.

Построение графика функции $y = x^2$

Чтобы построить график, сначала составим таблицу значений функции для нескольких ключевых точек:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = x^2$	9	4	1	0	1	4	9

Далее, отметим эти точки $(x, y)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученный график — парабола. Основные свойства графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является чётной ($f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$).

Ниже представлен график функции $y=x^2$:

График представляет собой непрерывную кривую, что наглядно демонстрирует свойство непрерывности функции $y = x^2$.

Ответ: Примером непрерывной функции является квадратичная функция $y = x^2$. Она непрерывна на всей области определения $x \in \mathbb{R}$. Её график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх, симметричная относительно оси $Oy$.