Номер 11, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 11, страница 102.

Условие.

11. Что называется угловым коэффициентом прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угловым коэффициентом прямой называют числовой коэффициент $k$ в уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + b$. Этот коэффициент характеризует наклон прямой относительно положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$).

Геометрический смысл углового коэффициента заключается в том, что он равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$. Угол $\alpha$ отсчитывается против часовой стрелки. Математически это выражается формулой:
$k = \tan(\alpha)$
В зависимости от знака и значения коэффициента $k$, положение прямой меняется:

• Если $k > 0$, то прямая "возрастает" (идет вверх при движении слева направо), а угол наклона $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Если $k < 0$, то прямая "убывает" (идет вниз при движении слева направо), а угол наклона $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
• Если $k = 0$, то прямая горизонтальна и параллельна оси $Ox$. Ее уравнение имеет вид $y = b$, а угол наклона $\alpha = 0^\circ$.
• Для вертикальной прямой, параллельной оси $Oy$ (задаваемой уравнением $x = c$), угол наклона $\alpha = 90^\circ$. Тангенс этого угла не определен, поэтому у вертикальных прямых угловой коэффициент не существует.

Алгебраический смысл углового коэффициента состоит в том, что он показывает, на сколько единиц изменится значение ординаты ($y$) при увеличении абсциссы ($x$) на одну единицу. Если на прямой известны координаты двух различных точек $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то угловой коэффициент можно найти как отношение изменения координаты $y$ к изменению координаты $x$:
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ответ: Угловым коэффициентом прямой называется коэффициент $k$ в уравнении прямой вида $y = kx + b$, который численно равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси абсцисс.