Номер 13, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 13, страница 102.

Условие.

13. В чём состоит геометрический смысл производной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке.

Определение через секущую и касательную

Рассмотрим график дифференцируемой функции $y = f(x)$. Возьмём на этом графике точку $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и другую точку $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $\Delta x$ — приращение аргумента. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Угловой коэффициент секущей $k_{сек}$ равен отношению приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$:

$k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика, то есть когда $\Delta x \to 0$. При этом угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной $k_{кас}$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке:

$k_{кас} = f'(x_0)$

Связь с углом наклона

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Если $\alpha$ — это угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке $x_0$, то её угловой коэффициент $k_{кас} = \tan \alpha$.

Таким образом, значение производной в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке:

$f'(x_0) = \tan \alpha$

• Если $f'(x_0) > 0$, то угол $\alpha$ острый ($0 < \alpha < 90^\circ$), и функция в этой точке возрастает.
• Если $f'(x_0) < 0$, то угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), и функция в этой точке убывает.
• Если $f'(x_0) = 0$, то касательная горизонтальна ($\alpha = 0^\circ$), что соответствует точке экстремума (максимума или минимума) или точке перегиба.

Уравнение касательной

Используя геометрический смысл производной, можно записать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Общее уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

В нашем случае точка касания имеет координаты $(x_0, f(x_0))$, а угловой коэффициент равен $k = f'(x_0)$. Подставив эти значения, получаем уравнение касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Иначе говоря, производная равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси Ox: $f'(x_0) = k_{кас} = \tan \alpha$.