Номер 13, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 13, страница 102.
№13 (с. 102)
Условие. №13 (с. 102)
скриншот условия

13. В чём состоит геометрический смысл производной?
Решение 1. №13 (с. 102)

Решение 2. №13 (с. 102)

Решение 3. №13 (с. 102)
Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке.
Определение через секущую и касательную
Рассмотрим график дифференцируемой функции $y = f(x)$. Возьмём на этом графике точку $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и другую точку $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $\Delta x$ — приращение аргумента. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.
Угловой коэффициент секущей $k_{сек}$ равен отношению приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$:
$k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика, то есть когда $\Delta x \to 0$. При этом угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной $k_{кас}$.
По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке:
$k_{кас} = f'(x_0)$
Связь с углом наклона
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Если $\alpha$ — это угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке $x_0$, то её угловой коэффициент $k_{кас} = \tan \alpha$.
Таким образом, значение производной в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке:
$f'(x_0) = \tan \alpha$
- Если $f'(x_0) > 0$, то угол $\alpha$ острый ($0 < \alpha < 90^\circ$), и функция в этой точке возрастает.
- Если $f'(x_0) < 0$, то угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), и функция в этой точке убывает.
- Если $f'(x_0) = 0$, то касательная горизонтальна ($\alpha = 0^\circ$), что соответствует точке экстремума (максимума или минимума) или точке перегиба.
Уравнение касательной
Используя геометрический смысл производной, можно записать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Общее уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
В нашем случае точка касания имеет координаты $(x_0, f(x_0))$, а угловой коэффициент равен $k = f'(x_0)$. Подставив эти значения, получаем уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Ответ: Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Иначе говоря, производная равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси Ox: $f'(x_0) = k_{кас} = \tan \alpha$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 102 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 102), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.