Номер 20, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 20, страница 102.

Условие.

20. Что называется пределом слева (справа) функции $f(x)$ в точке $a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пределы слева и справа, также известные как односторонние пределы, описывают поведение функции, когда ее аргумент приближается к определенной точке с одной конкретной стороны (слева или справа на числовой оси).

Предел слева (левосторонний предел)

Это значение, к которому стремится функция $f(x)$, когда ее аргумент $x$ приближается к точке $a$, оставаясь при этом строго меньше $a$. То есть мы рассматриваем значения $x$ в левой окрестности точки $a$.

Обозначение: $\lim_{x \to a-0} f(x)$ или $\lim_{x \to a-} f(x)$.

Формальное определение (на языке "эпсилон-дельта"):
Число $B$ называется пределом функции $f(x)$ слева в точке $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $a - \delta < x < a$, выполняется неравенство $|f(x) - B| < \varepsilon$.

Ответ: Предел слева (левосторонний предел) функции $f(x)$ в точке $a$ – это значение, к которому стремится функция, когда ее аргумент $x$ стремится к $a$, оставаясь при этом меньше $a$.

Предел справа (правосторонний предел)

Это значение, к которому стремится функция $f(x)$, когда ее аргумент $x$ приближается к точке $a$, оставаясь при этом строго больше $a$. То есть мы рассматриваем значения $x$ в правой окрестности точки $a$.

Обозначение: $\lim_{x \to a+0} f(x)$ или $\lim_{x \to a+} f(x)$.

Формальное определение (на языке "эпсилон-дельта"):
Число $B$ называется пределом функции $f(x)$ справа в точке $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $a < x < a + \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - B| < \varepsilon$.

Ответ: Предел справа (правосторонний предел) функции $f(x)$ в точке $a$ – это значение, к которому стремится функция, когда ее аргумент $x$ стремится к $a$, оставаясь при этом больше $a$.

---

Важное замечание: для существования "обычного" (двустороннего) предела функции в точке $a$ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела (и слева, и справа) и они были равны друг другу: $\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$. В этом случае говорят, что предел функции в точке $a$ равен $L$ и пишут $\lim_{x \to a} f(x) = L$.