Номер 26, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 26, страница 102.

Условие.

26. В чём состоит геометрический и физический смысл дифференциала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Геометрический смысл

Рассмотрим график дифференцируемой функции $y = f(x)$ и проведём к нему касательную в точке $M_0(x_0, f(x_0))$. Уравнение этой касательной имеет вид: $Y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — значение производной в точке $x_0$, равное тангенсу угла наклона касательной.

Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$. Тогда новое значение аргумента будет $x_0 + \Delta x$. При этом функция получит приращение $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Это изменение ординаты (координаты y) при переходе от точки $M_0$ к точке $M$ на самой кривой $y = f(x)$.

Теперь посмотрим, как изменится ордината на касательной при том же приращении аргумента $\Delta x$. Обозначим это приращение ординаты касательной как $dY$. Из уравнения касательной, при $x = x_0 + \Delta x$, получим: $dY = Y - f(x_0) = f'(x_0)( (x_0 + \Delta x) - x_0 ) = f'(x_0)\Delta x$.

По определению, дифференциал функции $dy$ в точке $x_0$ равен $dy = f'(x_0)dx$. Полагая приращение независимой переменной $\Delta x$ равным её дифференциалу $dx$ (т.е. $dx = \Delta x$), мы видим, что $dy = f'(x_0)\Delta x$.

Таким образом, $dy = dY$. Это означает, что дифференциал функции $dy$ в точке $x_0$ геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$. Для малых $\Delta x$ дифференциал $dy$ является хорошим приближением реального приращения функции $\Delta y$, то есть $\Delta y \approx dy$.

Ответ: Геометрический смысл дифференциала функции в точке заключается в том, что он равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргумент получает приращение $\Delta x$.

Физический смысл

Пусть некоторая физическая величина $y$ зависит от времени $t$ по закону $y = f(t)$. Например, $s = s(t)$ — закон прямолинейного движения, где $s$ — путь, а $t$ — время.

Производная $f'(t)$ (в нашем примере $s'(t) = v(t)$) представляет собой мгновенную скорость изменения величины $y$ в момент времени $t$.

За малый промежуток времени от $t$ до $t + \Delta t$ величина $y$ получит истинное приращение $\Delta y = f(t + \Delta t) - f(t)$.

Дифференциал этой функции, $dy = f'(t)dt$, при $dt = \Delta t$ равен $dy = f'(t)\Delta t$.

Физически выражение $f'(t)\Delta t$ можно интерпретировать как изменение величины $y$ за промежуток времени $\Delta t$, которое произошло бы, если бы скорость её изменения оставалась постоянной и равной мгновенной скорости $f'(t)$ в начальный момент времени $t$.

Например, для движения $ds = v(t)dt$ — это расстояние, которое тело прошло бы за время $dt$, если бы двигалось с постоянной скоростью $v(t)$. На самом деле скорость может меняться, поэтому реальное приращение пути $\Delta s$ может отличаться от $ds$. Однако для малых промежутков времени $\Delta t$ это отличие незначительно, и дифференциал служит хорошим приближением реального изменения: $\Delta y \approx dy$. Это используется в физике и технике для приближённых вычислений.

Ответ: Физический смысл дифференциала состоит в том, что он представляет собой линейное приближение приращения физической величины, вычисленное в предположении, что скорость её изменения на малом промежутке времени (или при малом изменении другого параметра) остаётся постоянной и равной её мгновенному значению в начале этого промежутка.