Номер 25, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 25, страница 102.

Условие.

25. Что называется дифференциалом функции в точке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Определение дифференциала функции в точке

Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$ (такое, что точка $x_0 + \Delta x$ не выходит из этой окрестности). Тогда функция получит приращение, обозначаемое $\Delta y$:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

где $A$ — некоторое число, не зависящее от $\Delta x$, а $o(\Delta x)$ (читается как "о малое от дельта икс") — это бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$. Это означает, что отношение $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ стремится к нулю при $\Delta x \to 0$.

Дифференциалом функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется главная, линейная относительно $\Delta x$ часть приращения функции. Дифференциал обозначается $dy$ или $df(x_0)$.

$dy = A \cdot \Delta x$

Связь дифференциала с производной

Ключевым фактом является то, что коэффициент $A$ в определении дифференциала равен значению производной функции в точке $x_0$. Покажем это. Разделим равенство для $\Delta y$ на $\Delta x$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$. Левая часть по определению является производной $f'(x_0)$, а в правой части второе слагаемое стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \right) = A + 0 = A$

Следовательно, $A = f'(x_0)$. Таким образом, для дифференцируемой функции ее дифференциал в точке $x_0$ равен произведению ее производной в этой точке на приращение аргумента:

$dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$

Принято считать, что дифференциал независимой переменной $x$ равен ее приращению, то есть $dx = \Delta x$. С учетом этого, формула для дифференциала функции принимает свой окончательный вид:

$dy = f'(x_0) \cdot dx$

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал функции в точке — это приращение ординаты (координаты по оси Y) касательной к графику функции в этой точке, когда аргумент получает приращение $\Delta x$.

На рисунке показан график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке $M_0(x_0, f(x_0))$.

• $\Delta x = M_0N$ — приращение аргумента.
• $\Delta y = NP$ — истинное приращение функции. Это то, на сколько на самом деле изменилась высота кривой.
• $dy = NQ$ — дифференциал функции. Это то, на сколько изменилась бы высота, если бы мы двигались не по кривой, а по прямой касательной.

Из прямоугольного треугольника $M_0NQ$ видно, что $\tan(\alpha) = \frac{NQ}{M_0N} = \frac{dy}{\Delta x}$. В то же время, тангенс угла наклона касательной $\alpha$ по определению равен значению производной в точке касания: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Приравнивая эти два выражения, получаем: $f'(x_0) = \frac{dy}{\Delta x}$, откуда и следует формула $dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$.

Дифференциал является линейной аппроксимацией (приближением) реального приращения функции: при малых $\Delta x$ точка $P$ на графике очень близка к точке $Q$ на касательной, поэтому $\Delta y \approx dy$. Это свойство широко используется в приближенных вычислениях.

Ответ: Дифференциалом функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется главная, линейная относительно приращения аргумента $\Delta x$, часть приращения функции $\Delta y$. Он вычисляется по формуле $dy = f'(x_0) \cdot dx$, где $f'(x_0)$ — производная функции в точке $x_0$, а $dx$ — дифференциал независимой переменной, равный ее приращению $\Delta x$. Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке.