Номер 5, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 5, страница 103.

Условие.

5. Написать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin 2x$ в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

По условию задачи имеем:
Функция $f(x) = \sin(2x)$.
Абсцисса точки касания $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = \sin(-\frac{\pi}{3})$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:
$f(x_0) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = 2\cos(-\frac{\pi}{3})$
Используя свойство четности косинуса $\cos(-a) = \cos(a)$, получаем:
$f'(x_0) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = -\frac{\pi}{6}$ в общее уравнение касательной:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{6}))$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + x + \frac{\pi}{6}$
Запишем уравнение в более привычном виде:
$y = x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $y = x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.