Номер 1, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 1, страница 103.

Условие.

1. Найти предел последовательности ${x_n}$, если

$x_n = \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения предела последовательности, заданной в виде отношения двух многочленов, когда $n \to \infty$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо разделить и числитель, и знаменатель дроби на самую высокую степень переменной $n$, встречающуюся в выражении. В данном случае это $n^4$.

Запишем предел последовательности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2}$

Теперь разделим каждый член числителя и знаменателя на $n^4$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^4}{n^4} + \frac{n^2}{n^4} - \frac{4}{n^4}}{\frac{3n^4}{n^4} - \frac{n^3}{n^4} + \frac{2}{n^4}}$

После упрощения дробей получим:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2} - \frac{4}{n^4}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^4}}$

Теперь воспользуемся основным свойством пределов последовательностей, согласно которому предел дроби вида $\frac{c}{n^k}$ при $n \to \infty$ и $k > 0$ равен нулю. Таким образом:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^4} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^4} = 0$

Подставляя эти нулевые пределы в наше выражение, получаем:

$\frac{2 + 0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3}$

Стоит отметить, что когда степени многочленов в числителе и знаменателе равны, предел их отношения при $n \to \infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В нашем случае это $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.