Номер 1, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 1, страница 103.
№1 (с. 103)
Условие. №1 (с. 103)
скриншот условия

1. Найти предел последовательности ${x_n}$, если
$x_n = \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2}$
Решение 1. №1 (с. 103)

Решение 2. №1 (с. 103)

Решение 3. №1 (с. 103)
Для нахождения предела последовательности, заданной в виде отношения двух многочленов, когда $n \to \infty$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо разделить и числитель, и знаменатель дроби на самую высокую степень переменной $n$, встречающуюся в выражении. В данном случае это $n^4$.
Запишем предел последовательности:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2}$
Теперь разделим каждый член числителя и знаменателя на $n^4$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^4}{n^4} + \frac{n^2}{n^4} - \frac{4}{n^4}}{\frac{3n^4}{n^4} - \frac{n^3}{n^4} + \frac{2}{n^4}}$
После упрощения дробей получим:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2} - \frac{4}{n^4}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^4}}$
Теперь воспользуемся основным свойством пределов последовательностей, согласно которому предел дроби вида $\frac{c}{n^k}$ при $n \to \infty$ и $k > 0$ равен нулю. Таким образом:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^4} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^4} = 0$
Подставляя эти нулевые пределы в наше выражение, получаем:
$\frac{2 + 0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3}$
Стоит отметить, что когда степени многочленов в числителе и знаменателе равны, предел их отношения при $n \to \infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В нашем случае это $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 103 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 103), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.