Номер 2, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 2, страница 103.

Условие.

2. Выяснить, является ли непрерывной в точке $x = 3$ функция

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3} & \text{при } x \neq 3, \\ 2 & \text{при } x = 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выяснить, является ли функция непрерывной в точке $x=3$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x=3$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to 3} f(x)$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$.

Проверим эти условия последовательно:

1. Нахождение значения функции в точке.

Согласно определению функции, при $x=3$ значение функции равно 2.

$f(3) = 2$

Функция определена в точке $x=3$. Первое условие выполнено.

2. Нахождение предела функции в точке.

Для нахождения предела при $x \to 3$ мы используем ту часть определения функции, которая задана для $x \ne 3$.

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-6x+9}{x-3}$

При подстановке значения $x=3$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$\frac{3^2 - 6 \cdot 3 + 9}{3-3} = \frac{9 - 18 + 9}{0} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть эту неопределенность, упростим выражение. Числитель $x^2-6x+9$ является полным квадратом разности: $(x-3)^2$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)^2}{x-3}$

Поскольку при вычислении предела $x$ стремится к 3, но не равно 3 ($x \ne 3$), мы можем сократить дробь на $(x-3)$.

$\lim_{x \to 3} (x-3) = 3 - 3 = 0$

Предел функции в точке $x=3$ существует и равен 0. Второе условие выполнено.

3. Сравнение значения функции и ее предела в точке.

Теперь сравним значение функции в точке $x=3$ с ее пределом в этой точке.

$f(3) = 2$

$\lim_{x \to 3} f(x) = 0$

Поскольку $2 \ne 0$, то $f(3) \ne \lim_{x \to 3} f(x)$.

Третье условие непрерывности не выполнено. Так как предел функции в точке существует, но не равен значению функции в этой точке, то функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке $x=3$.

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x=3$.