Номер 2, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 2, страница 103.
№2 (с. 103)
Условие. №2 (с. 103)
скриншот условия

2. Выяснить, является ли непрерывной в точке $x = 3$ функция
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3} & \text{при } x \neq 3, \\ 2 & \text{при } x = 3. \end{cases}$
Решение 1. №2 (с. 103)




Решение 2. №2 (с. 103)

Решение 3. №2 (с. 103)
Для того чтобы выяснить, является ли функция непрерывной в точке $x=3$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:
- Функция $f(x)$ определена в точке $x=3$.
- Существует предел функции $\lim_{x \to 3} f(x)$.
- Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$.
Проверим эти условия последовательно:
1. Нахождение значения функции в точке.
Согласно определению функции, при $x=3$ значение функции равно 2.
$f(3) = 2$
Функция определена в точке $x=3$. Первое условие выполнено.
2. Нахождение предела функции в точке.
Для нахождения предела при $x \to 3$ мы используем ту часть определения функции, которая задана для $x \ne 3$.
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-6x+9}{x-3}$
При подстановке значения $x=3$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
$\frac{3^2 - 6 \cdot 3 + 9}{3-3} = \frac{9 - 18 + 9}{0} = \frac{0}{0}$
Чтобы раскрыть эту неопределенность, упростим выражение. Числитель $x^2-6x+9$ является полным квадратом разности: $(x-3)^2$.
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)^2}{x-3}$
Поскольку при вычислении предела $x$ стремится к 3, но не равно 3 ($x \ne 3$), мы можем сократить дробь на $(x-3)$.
$\lim_{x \to 3} (x-3) = 3 - 3 = 0$
Предел функции в точке $x=3$ существует и равен 0. Второе условие выполнено.
3. Сравнение значения функции и ее предела в точке.
Теперь сравним значение функции в точке $x=3$ с ее пределом в этой точке.
$f(3) = 2$
$\lim_{x \to 3} f(x) = 0$
Поскольку $2 \ne 0$, то $f(3) \ne \lim_{x \to 3} f(x)$.
Третье условие непрерывности не выполнено. Так как предел функции в точке существует, но не равен значению функции в этой точке, то функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке $x=3$.
Ответ: функция не является непрерывной в точке $x=3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 103 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 103), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.